基于空间模型面向化学工科专业线性代数教学例证研究

左路

[摘 要]针对化学工科专业的线性代数课程教学，教师可以以化学化工领域的动力系统模型为应用背景，探討基于空间及矩阵几何模型的教学模式，并提出以几何直观性为宽基础的金字塔式教学模式，及定位于培养学生几何直观思维方式的教学目标，从而增强学生对科学研究的兴趣，夯实数学基础并实现为专业研究与应用服务的目的。

[关键词]化学工科专业; 教学研究;线性代数课程; 教学模型;几何直观

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）02-0086-04

对于本科阶段学生而言，在校四年的学习过程应以真正欣赏和热爱科学研究，理解研究工作的价值，并且最终全身心投入研究工作为目标，因此有效的科学思维方法的训练必不可少. 而数学类课程的学习正是促进科学思维方法形成的必经过程，线性代数就是其中的必要一环.线性代数的重要性从瑞典数学家Lars G?rding的著作Encounter with Mathematics中可窥见一斑：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多.”[1]但是“线性代数是通过公理化来表述的，……，这就带来了教学上的困难”[1].自然界现象在人们思维中以几何形象呈现，但是数学知识体系经过几千年的发展演变，至今形成了严谨且抽象的公理化体系. 严谨的抽象性就像一柄双刃剑，当新知识的教与学过程丧失直觉性后，将不易被学习者理解，更不用说得心应手的应用. 如果线性代数的学习建立在几何直觉基础上，将学习者带来极大的便捷. 笛卡尔、A. R. 费歇尔和C. R. 劳均非常重视几何直观作用，其中费歇尔正是因为具备这种非凡的几何直观思维，才能够在极短的时间内解决他人需耗费很久时间才能解决的问题[2].

不同专业数学类课程的教学不能一概而论。身为教育者大家都有共同认识，即数学基础课程的教与学应重视数学思维训练，以专业应用为导向，许多一线基础数学教师已经对此展开了深入的探讨与研究[3-4].对于化工专业而言，其数学训练更不同于一般工科数学[5].从计算机诞生以来，传统的化学工程学科与计算机科学的结合，衍生出了高度模型化与数学化的新学科，如化学反应工程、过程系统工程等. 化学工程领域需要在化工实验中进行数据处理与分析、对化学问题进行建模与分析，以及对化工过程进行模拟与优化，而这些应用都需要数学分析技术，线性代数知识正贯穿于此三方面需求中. 为了在保证数学知识的基础性的同时保证针对性，教学内容与过程就需要适量、适度. 为了实现这个目标，教学模式应辅助学生构建一个层层递进、兼顾应用、基础宽厚的知识体系，同时也应考虑到学科发展趋势，并数学思维训练与直觉培养融入其中.过去我们一直将线性代数教学建立在数值计算基础上，然而如何准确选择工具、解释计算结果，并产生方法的创新需要未来的研究者对于线性代数有更多的本质认识，那么几何直观性便成为实现这一目标最坚实的基础.因此，本文作者针对化学工科线性代数课程教学，采用金字塔式教学目标模式（参见图1），以动力系统为为例，探讨如何利用空间与矩阵为辅助工具建立几何直观模型实施教学.

一、空间的构成

学习任何新知识的第一步，都应为认识其研究对象，学习线性代数的第一步便从认识空间及其构成开始.代数研究中，常抽象地将具有某种共同“行为方式”的元素纳入空间这个“容器”. 粗略而言空间就是满足同类行为方式的元素构成的集合. 在线性代数中，“行为方式”可以理解为空间内的运动或者变换. 尽管在各类研究领域中出现的空间类型繁多，但是都有共性，即与实数域的线性空间同构，因此我们立足于最基础的空间上，以线性空间为核心建立几何直观模型，依此可以推广至所有的同构空间. 接下来需要解决第二个问题，即线性代数的构成元素应具备何种共同的行为方式？线性变换就是线性空间元素的共同行为方式.那么何为“线性”？这是理解线性代数的关键一环，线性运算即为满足可加性和比例性的运算.以二维向量空间为例，其自然基为[e1=（1，0）T]，[e2=（0，1）T]，则其中任何元素[x=（x1.x2）T=x1e1+x2e2]均可以由[e1，e2]“创造”，如5（1，0）T+（0，1）T=（5，1）T. 此时线性运算的系数5和1构成向量在基[e1，e2]下的坐标. 实际上用于创造元素的基并非唯一. 若[e1，e2]由先构造出线性无关的向量[ζ1=3e1+5e][2]，[ζ2=e1-e][2]，则[ζ1]，[ζ2]可以替代[e1，e2]作为空间的基从而生成具有“新”坐标[34]和[114]的空间元素[34]（3，5）T+[114（1，-1）]T=（5，1）T.至此空间有了描述方式，也具备了结构特点， 线性代数的研究实体便立体的呈现于学生思维中.

采用矩阵符号将上式简记为[L（x）=Ax=y]，即线性变换[L]：[Rn][→R][n]，那么空间元素之间的关联可以通过矩阵运算进行描述. 由于容纳运动，空间将不再是一个“静态的容器”，从而可以采用动态的方式研究空间元素.实际上由于线性变换遵循规则[L（x+y）]=[L][（x）]+[L][（y）]与[L][（kx）]=[kL][（x）]，空间元素将保持可加性与比例性，这便是该变换被称为线性运算的本质原因. 若直观地解释线性变换，其是指空间中的直线经变换后仍保持直线状态不会被弯曲，且原点保持不变. 若采用抽象描述方式，线性变换也可以被解释为一种函数映射规则，即将空间元素（向量）x映射（运动）到另一个元素（向量）y的规则. 如果目标向量y固定为b，于是得到线性方程组Ax=b. 可见线性方程组的解即为空间中所有可以在变换规则矩阵A下运动至目标b的原像. 不过我们更倾向于解释L为线性变换，因为“函数”一词更侧重抽象的逻辑关系，而“变换”则倾向于从几何角度解释线性变换对应于空间元素的运动. 在教学实践中，从运动的视角建立直观解释更容易让学生理解线性代数运算的本质.

借助矩阵，我们可以扩展看待空间的视角. 由于（2.1）式的线性变换矩阵的列向量组即为基向量，记基[e1，e2]构成的矩阵记为[e]，基[ζ1]，[ζ2]构成的矩阵记为[ζ]，令[[x]]表示在基*下的坐标向量. 如果另有基矩阵[η]，使得[[x]]e=[η][[x]][η]=[ζ][[x]][ζ]，则不同基下的坐标之间通过线性变换关联起来，即[[x]η][η-1][ζ[x]][ζ]，且不同基之间满足[ζ]=[ηη-1][ζ][ηP].因此我们便拥有了在不同的基下看待空间的不同“视野”（如图2所示），这也给研究者提供了在不同视野下切换以寻求最便捷研究方法的途径.

二、空间与离散动力系统

由于空间的最基本特征是包含元素的运动，在线性空间中我们通过线性变换描述运动，即通过矩阵乘法将运动对象、运动目标和运动方式合成为线性函数[L（x）=y]. 但是现实世界的运动常常附加一个新维度-时间，于是附加上时间维度的线性变换便成为动力系统的分析工具.化学化工领域存在的各种系统，例如复杂反应网络、反应系统的动态模拟、化工合成过程，以及多单元多因素系统的耦合分析等均可以视为动力学系统.如果在离散时间节点测量动力系统的状态，线性变换就形成了离散时间点上的“跃迁”运动. 将系统状态由向量序列[x0，x1，]…，[xn]，…表示，[xn]为第n个时间离散节点的系统状态，其满足离散动力方程[xn+1=Anxn]，其中[An]为描述系统状态变化的转移矩阵. 根据线性变换结果，可以在相空间绘制出动力系统的运动轨迹，预测未来时间节点系统状态趋势.可见矩阵承担着动力系统行为分析核心工具的重任.

例如，对（2.1）式实施若干次线性变换[3       1 5      -1][n][n0]，其中n=1，2，…， 便可以得到空间元素的运动轨迹，即向量序列[xn=c1λn1v1+c2λn2v2]，[n=]0，1，2，…，其中[λ1]，[λ2]为线性变换矩阵[A=][3       1 5      -1]的特征值，[v1]，[v2]为A分别对应[λ1]，[λ2]的特征向量，系数[c1]，[c2]由系统的初始状态决定.因此得到动力系统的运动轨迹（如图3所示），初始点在[v2]所在直线以外的位置的轨迹均随着时间演变，最初趋近于[v1]所在直线，然后远离[v1]并向无穷方向延伸. 而落在[v2]所在直线上初始点的轨迹，将以震荡方式趋近于无穷（如图4所示），且震荡幅度随着时间递增，可见系统（2.1）是不稳定的体系.对于动力系统而言，变换系数矩阵的特征体系描绘出了系统的行为方式与运动趋势，特征值的符号预示着系统趋于稳定抑或趋于发散，而作为子空间的特征空间则指示出系统运动的方向与速度.

三、空间与微分动力系统

若系统状态随着时间连续变化，则离散差分方程推广至微分方程组. 复杂反应网络正是依赖于微分动力系统进行动力学行为分析. 尽管反应体系因反应级数的差异通常与非线性微分方程组相关联，但是实际中非线性微分方程组可以经过线性近似化为线性微分方程组[5]. 因此微分动力系统常采用线性分析方法，从而可以借助相空间和矩阵的特征体系分析微分方程组的动力学行为. 此种方法便是复杂网络分析中的特征向量法，该方法由Wei和Prater[6]在1962年针对复杂一级可逆反应网络的动力学分析而提出，Silvestri、Prater和Wei在1967至1970年间将其推广至含不可逆一级反应系统[7，8，9]，此后Christoffel将此方法与Gavalas法和曲线拟合方法加以比较后得出结论，尽管实验工作量较大，特征向量法在数据处理量和结果精度上还是具有很大优势[10-11].

上式中，xi为组分[Ai]的摩尔分数，kij为反应[Aj] [→][Ai]的速率常数. 乘积项kijxj表示由组分[Aj]生成[Ai]的速率，而项[-j≠i3kji]xi表示由组分[Ai]生成[Aj]的速率.采用矩阵乘法可以将系统（4.1）记为[dxdt]=[K][x]，令x表示系统状态向量，[K]为速率常数矩阵.由于遵循质量守恒性与反应量的非负性，系统（4.1）还应满足两个约束，[j-13xi=1]与[xi?0（i=1，2，3）].因此系统状态向量[x]处于经过点（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）的反应平面上（如图6所示）. 当系统从初始状态[x（0）]反应至[x（t）]，在反应平面上经过的曲线即为动力系统的反应路径（即图6中[x（0）]至[x（t）]间虚线所示曲线路径）.

由系统（4.1）速率常数矩阵k的元素构成特征可见，k必有零特征值（记为[λ][0]）与负特征值，零特征值意味着此反应存在反应平衡点，即[λ][0]对应的特征向量v[0]在相空间中的位置.系统（4.1）的通解为[x（t）=i=13civieλit]，[ci?R]. 同样，此处[λ][i]為（4.1）式系数矩阵k的特征值，[v][i]为k对应[λ][i]的特征向量，系数[c][i]由系统的初始状态[x（0）]决定. 由解形式可见，系统（4.1）的解轨迹随着时间演变呈指数函数规律变化，并趋于反应平衡点，其运动方式与速度由所有特征向量共同决定，因此系数矩阵特征值与特征向量成为分析系统解轨迹性态的关键[12]（参见表1）.系统（4.1）反应路径如图7所示，不同初始状态下反应路径最终均汇至平衡点，且在平衡点处具有共同切线. 由图7可见当反应沿着特征向量的所在直线路径进行，反应衰减最快.如果通过实验寻找到这两条直线路径，则可以在直线反应路径上可以单独地解耦求解系统（4.1），这便是特征向量法给反应动力实验数据处理带来的便捷之处.以上仅是微分系统系数矩阵的特征体系在动力分析实验中的贡献的一方面.

另一方面，如果实验是用于确定反应系统的速率常数[kij]，即此时系数矩阵k是未知的，那么需要通过实验路径反过来确定反应速率常数[kij].由于（4.1）式是强耦合系统，状态向量x的各分量不能分别求解，那么由实验数据需要同时确定[n（n-1）]个动力学参数（假设n为不同组分数量）. 如果将（4.1）式先进行解耦处理，即将系数矩阵k对角化为矩阵[Λ=diag（λ0，λ1，k，λn-1）]，引入虚拟组分[y=（y1，y2，k，yn）T]，得到[dydt=Λy].则[y（t）=diag（eλ0t，eλ1t，k，] [eλ2t）（a0，a1，k，an-1）T]，[ci][?]R，[t?0].可见此时虚拟组分各分量可以实现单独求解，并且通过选择特征向量方向上的直线反应路径，可以将需要确定的动力学参数个数降低为n[6，13].因此利用矩阵特征体系可以带来简化数据处理的实验设计方法.

实际上，化工系统数学模型的求解往往受到强耦合性的约束，造成计算和数据处理的高度复杂性. 利用矩阵与线性变换的概念在线性空间中可以实现系统的解耦，将n个强耦合的线性方程解耦为一系列彼此独立的方程，实现单独求解从而简化实验设计与实验数据处理. 正是基于此类应用性，线性代数的基于空间几何观点的教与学旨在给学生在专业领域的研究带来便捷.

四、结语

综前所述可见，尽管化学是以实验为核心的科学，但是它与数学关联紧密. 一方面，因受到了近代物理学（主要来自量子力学与统计力学）的极大影响，现代化学采用逐步数学化的语言从微观层面探讨物质的组成、构造及反应机理. 另一方面，实验需要更严格的定量方法，自然就涉及数学更多技术层面的应用. 这两方面的原因决定了化学学科必定需要数学在语言、技术层面上更加强有力的支持. 但是无论从语言还是技术层面来说，归根结底数学对于化学工作者而言只是一种工具而已，不能取代化学本身.但也不能因此将数学的“工具性”理解过窄. 不可否认，一个化学工作者的数学能力越强，他所能处理的问题也越多. 在强调科学间融科合交叉的今天，数学无疑是一项有助于科研工作的利器. 作为教育者，我们要避免将知识孤立化，否则这种教育模式下培养出来的学生知识面窄，无法胜任交叉学科的研究工作.因此对于线性代数的初学者，尤其是其中需要具体领域背景的学习者而言，在学习过程中如果能够借助专业背景模型在思维中构建各种数学概念和方法的几何背景，并描绘出清晰的物理图像，将有助于他们在未来的研究工作中从知识体系中选择合适的观点形成新的思想和概念，从而形成创新. 我们在此提出的以空间几何直觉为基础的教学模式正是以此为目标. 不过，应明确的一点是，基于空间观点的教学模式并非单纯强调几何性，其终极目标仍然要回到培养严谨的逻辑思维上.

[ 参 考 文 献 ]

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[责任编辑：林志恒]