中西方本科高校常微分方程教学方法的比较

周霞 张克磊

[摘 要]教学方法是影响高校教学质量的关键因素，因此，各国高校均致力于探索、研究并构建适合本国高校实际的科学的教学方法体系。以本科专业的常微分方程课程为例，针对中国、美国、英国、德国、日本、澳大利亚、加拿大等若干国家不同高校相关教学方法的比较分析，发现中西方高校在教学的主客体、获取知识途径、实践教学法、科研活动教学法等方面各有所长。鉴于此，我国高校可根据常微分方程课程教学实际，并重点参照授课对象、知识模块、大纲要求的不同，借鉴吸收国外若干高校的一些教学方法为我所用，以提升教学实效。

[关键词]中外若干高校;常微分方程;教学方法;对比分析

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）02-0060-04

随着全球化进程的加快，各国高校之间的交流与合作日趋频繁，培养国际化、个性化和创新性的专业人才已成为国内外高等学校共同的人才培养目标。现代高校在不断融合中西方教育理念的同时，均致力于运用国际化教育思维模式培养具备高深专门知识、信息获取能力、知识运用能力及批评分析能力的新型人才。这些年来，我国高校不断吸收并借鉴西方一些国家的高等教育的理念与模式，去其糟粕取其精华，给教学方法、手段及过程等带来了巨大变革。教学方法是影响教学效果的关键因素之一，如何把中西方高校的一些教学方法中最先进的部分融合起来，运用到我国高校本科常微分方程课程教学中，来满足学生的个性化、多样化的学习和发展需求，真正做到因材施教，促进学习者释放潜能，是该专业教师必須认真探讨的课题。

不少学者从中西方历史文化、心理学和行为学、思维方式及教育理念等多角度阐述和研究中西方在教育思维模式上存在的差异，例如文献[1]，作者就中西方教育思维与教学方法进行了对比分析;有研究具体到中国和西方某一国家的某一种教学方法进行对比分析，例如文献[2]，作者就澳大利亚和中国关于运用问题导向式（Problem-based learning，简称 PBL）教学方法的情况，包括其课程设置与组织、实施过程与取得的效果进行对比分析;有研究具体到中国和西方某一国家某门课程的教学进行对比分析，例如文献[3]，作者就加拿大和中国高校的常微分方程课程的课程设置、教学内容、教学方式与手段、实验环节、考核方式等五个方面进行了对比分析。具体到常微分方程，该课程是数学专业的一门基础课程，对“老三基”（数学分析、高等代数、解析几何）和“新三基”（泛函分析、拓扑学、近世代数）起到承上启下的作用，其理论体系逻辑性强、抽象程度高、知识应用性强，能有效地培养学生的应用能力和创新能力。针对常微分方程课程应用性强的特点以及培养国际化人才的需求，笔者在文献[4]就应用型人才培养模式下常微分方程课程双语教学进行了探讨;针对创新性人才培养的需求，笔者在文献[5]中就常微分方程教学中数学建模与应用能力的培养进行了探讨。但是，针对美国、英国、德国、日本、澳大利亚等国家一些高校的常微分方程教学方法进行调研和对比分析后我们发现，我国既要传承传统教学中好的方法也要摒弃不切合我国高校实际的教学方法，不能照搬西方发达国家教育思维模式下先进的教学方法，而是要把中西方适宜的教学方法融合起来，以拓宽思路、丰富教学方法、提高教学效果，这才是常微分方程课程及研究中需要强化的方面。

一、中西方高校侧重使用的教学方法

（一）美国高校通常采用的教学方法

美国高校率先提出并成功运用了案例式教学法、讨论式教学法、PBL教学法。美国一些高校的课程教学将学生作为整个教学的中心，教师通过激发学生的内在学习动机促进其主动学习;其次，在这些课程中，学生的知识是通过对问题的研讨自主获得，而不是通过教师的讲授被动地接受的。因此，在美国高校的教学过程中案例式教学方法非常突出。教师通过硬件、软件来模拟或捕捉经济、社会、生活中的现实问题，通过案例引导学生去体验事物发展变化规律，解决实际问题，让学生获得知识的同时也锻炼了解决问题的能力，培养了创新能力。

（二）英国高校通常采用的教学方法

英国高校则偏重自主和交互式学习法、项目式教学法、体验性教学法。首先，英国高校的教学过程是一种开放式、自主式、创造性的学习过程，学生通过自主查阅文献、调查、实习、实验、讨论、请教教师和专家、利用网络资源等途径获取知识，这对学生团队协助、任务分工、沟通交流等能力是很好的锻炼。其次，通过精心设计和挑选具有实际意义的应用型或研究型的开放式课题，不设定标准答案，学生通过自主分析问题、解决问题、归纳知识、建立模型、数值实验、分析结果、呈交报告的过程来完成学习任务。同时，还有部分高校尝试体验性教学法，根据学生的认知特点和规律，通过创造实际的或重复经历的情景和机会，呈现、再现并还原教学内容，使学生在亲历的过程中理解并构建知识，发展能力。

（三）德国高校通常采用的教学方法

德国高校秉承研究与教学相结合的教学理念，课程目标实施明确、产学研结合贯穿始终，教学方法主要包括可视化教学方法、关键词卡片法、Seminar（习明纳尔）教学法等。可视化教学方法将学生学习结果通过简笔画、漫画、关系图等方式展示出来，增强教学过程的趣味性，培养学生的形象思维能力。关键词卡片教学法是让学生独立学习专业知识与基本理论，并将其认为的关键词写在卡片上;教师收集卡片后，在课堂随机抽取并阐述关键词的内涵，培养学生对知识点的理解、把握以及沟通交流能力。Seminar教学法是一种专题讨论式教学法，由教师和学生围绕某一问题进行学术探讨，将学生分成两个小组，让学生相互之间听取对方提出的问题和解决方法，提出自己的想法和建议，最后统一在课堂上展示结果，这有助于提升学生的批判性思维能力、写作能力和表达能力。

（四）日本高校通常采用的教学方法

日本在20世纪80年代主要采用的是注入式教学法，这一教学方法的特点是死记硬背[6]。大约在20世纪90年代初，日本对其大学的教学方法进行了反思和改革，引入了体验式教学法，根据授课对象设定情景、创造机会、再现教学内容，让学生亲身经历并构建知识，培养动手能力，促进学生个性化发展。2015年，京都大学的沟上慎一教授提出了能动性学习教学法，“超越单方面的知识传达型的课堂学习的所有能动性学习，伴随着书写、表述、报告等活动的参与，以及由之产生的认知过程的外化”。

（五）澳大利亚高校通常采用的教学方法

澳大利亚高校教学方式相对比较灵活、轻松、开放，主要教学方法有讲授法、PBL教学法。教师在一间大教室里有1～2小时的授课（Lecture），以传授新知识为主，一般有四五十页甚至上百页的教学内容，大多理论性较强或抽象程度较高，课前课后教师会提供很多阅读内容，学生需要做大量的自主学习工作。课后，通常会有小班教学的辅导课（Tutorial），学生数量在15人左右，辅导员由该学科导师或者本专业教师甚至高年级学生担任，帮助学生解答问题、讲解作业、消化讲授内容，有时还有相应的实验课辅导。

（六）加拿大高校通常采用的教学方法

加拿大高校最突出的教学方法是小班探讨式教学法和实践教学法。以滑铁卢大学为例，多数班级是小班上课，人数在20人或30人左右。探讨式教学法是以所学基本知识为探究内容，在教师的启发引导下，学生先自主学习，然后小组讨论，各抒己见，也可以质疑同组或者其他小组的意见，探究问题，解决问题，从而获取知识并用于解决实际问题。实践教学法主要包括课内外的练习、实验、实习、社会实践、研究性学习等以学生为主体的实践性活动。就滑铁卢大学而言，每年有三个学期，学生可以选择两个学期学习理论知识，一个学期去实习。实践教学法有助于学生巩固、完善和应用所学知识，培养其运用知识解决实际问题的能力。

（七）中国高校通常采用的教学方法

根据文献[6]中作者的观点，大学知识体系分为博雅知识、工具知识、专业知识、政治理论知识、修身养性知识五个部分，这几个部分构成了高校教学方法内部形态分类体系。博雅知识的教学以语言传递信息的方法为主，比如讲授法、谈话法、讨论法、读书指导法;工具知识以引导探究的方法为主，如发现法;专业知识的教学以实际训练的方法为主，包括探究法、情境模拟法、问题式学习法、实验法、实习作业法;政治理论知识的教学以欣赏活动的教学方法为主，如陶冶法、案例法;修身养性知识的教学以直接感知的方法为主，包括演示法、参观法。在这些教学方法中，中国高校课堂更侧重于讲授式、解说式、示范式的教学方法，通过系统的语言描述、展示、示范来促进学生学习，讲授一般是先理论知识后实践练习，知识的传递是从教师向学生单方向传递的。讲授法可以高效、系统、有条理地传授知识，能够发挥教师的专业优势，也能很好地进行知识总结。

二、中外若干高校常用教学方法之异同

（一）主客体不同

外国高校一般会在学期开学前将Lecture详细内容、Problem set 和Reading要求、Topic的计划、Quiz的时间、Presentation的要求等一并发给选课学生，学生根据收到的资料进行学习、获取知识。在课堂上，教师基本上是引导为主，重点解决一些难点问题、Problem set问题和Learning网站上学生提出的没有被解决的问题。可见，在外国高校中，学生主要是通过自主学习获取知识，通过独立思考并不断质疑来接受知识，通过解决Problem set 和Topic中的问题来运用知识。在整个过程中，学生是主体，教师是客体。而在中国高校，教师是按照事先制定的教学大纲及教学进度统一讲授一门课程，班级人数多、课时少，教师为了完成教学任务，还要按照教学大纲和进度计划授课，整个课堂基本上以传授知识为主：讲完理论，讲例题，课后留有相应的作业。完成这些作业的过程就是中国大学生仅有的可能的自主练习，这还是以学生不抄袭作业，靠自身努力完成为前提。相对而言，在中国高校，学生在整个学习的过程中多数时候只是被动地接受教师传授的知識，主动学习或思考的成分较少;在整个教与学过程中，教师是主体，学生是客体。

（二）知识获取的途径不同

外国高校的学生大部分是带着要解决的某个问题或者要完成的Topic，去查阅文献、研读Lecture、上Learning查找类似的提问和解决方案，观看YouTube等媒体上相关授课视频，在解决问题的同时获取了知识，最后将自己的成果拿到小组中进行研讨、提出质疑。教师通过引导探索、解答疑问，帮助学生整理出结果，然后做称述（Representation）。在中国高校，学生80%左右的知识来源于教师课堂讲授，通过自主学习获取知识的并不多。有些高校不允许大一新生带电脑上教室，甚至不允许学生带手机到课堂，还有学校不允许某些专业的教师使用多媒体辅助教学，只能以板书为主要教学手段。这使得原本公开、免费的教学资源难以为学生所用，再加上从小就被培养的上课、写作业、考试这一习惯，学生几乎不参考网络资源或者图书资料，获取知识的途径就只剩下教师的课堂讲授及其完成作业过程中的自主获取。

（三）实践教学方法不同

国外一些高校实行三学期制，其中有两个学期在学校学习理论课，一个学期到公司或实习单位去实习，学生自主选择时间和实习单位，整个大学期间一共需要三个学期以上的实习时间。学生通过实习能切身体会到公司或企业的需求，运用自己的专业理论知识去为实习单位解决一些实际问题，锻炼知识运用能力、团队协作能力，还可以通过查缺补漏来完善自己的知识体系。也有的高校是将实践教学设置在校内，教师上一次理论课，之后会安排2至3次的习题课、实验课、见习课，鼓励学生运用所学理论知识设计实验方案，通过实验、实践来验证方案的可行性，反复操作，获取可行的实验结果，完成实验报告。中国高校的实践教学基本分两大块，一是学校统一组织的实习，学生需参加学校第7学期统一安排的实习活动，也可自主联系实习单位进行实习;第二是实验课，一般情况下实验课和理论课是分开的，理论课老师负责理论教学，实验课老师负责实验部分。由于实验设备的限制和学生人数众多，惯常的做法是安排学生一批一批地做实验。由于资源有限，实验课大多安排在晚上或周末。由于实践课师资缺乏，教师须重复演示相同的实验达上百次甚至更多，其效果可想而知。

（四）科研活动教学方法不同

国外很多高校将科学研究方法作为大学一、二年级的必修课，教师通过Topic或者Problem set来提出具有一定科研价值但又在教师提供的Lecture或者Reading中不能直接找到结论的相关科研课题，让学生通过收集相关资料，汲取已有成果的经验，归纳整理并提出自己的观点，给出有理有据的解决方案，完成并提交小论文。这种动手、动脑、探索、创新的科研活动过程贯穿大学学习始终，因而，对学生来说，写一篇科技报告或论文是习以为常的事情。而在中国高校，科研活动基本上仅限于安排在第八学期的毕业论文或者毕业设计，本科生撰写毕业论文对很多即将毕业的大学生来说几乎是第一次接触科研活动。毕业设计中的从选题、开题到发现问题、解决问题，以及论文写作格式、方法、结果的讨论等环节，均由指导教师手把手地教，多数学生科研活动刚入门即将面临大学毕业。近些年，在教育部的统一部署下，我国高校已引入大学生创新创业项目、科教协调项目等形式来培养大学生科研能力，成绩日渐彰显。

三、国外若干高校本科“常微分方程”课程教学方法的借鉴及启示

中国高校的教育背景、教学理念、思维模式决定了对高校教学方法进行改革实属不易。作为教育工作者，我们无法保证教学方法能尽善尽美，但也不能因为教学方法改革之艰辛而放弃或停滞，需要在不断探索过程中将之逐渐完善。现将授课对象分为大学本科数学与应用数学专业、计算数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业及非数学专业的学生，将常微分方程课程内容分为基础模块、应用模块和拓展模块三部分，按照常微分方程课程知识与技能要求分为了解、理解、掌握、学会四个层次，针对不同的授课对象、不同的知识体系、不同的教学内容要求，给出我们建议的教学方法。

（一）作为专业基础课程的分模块教学法

常微分方程课程作为师范类数学与应用数学专业的专业基础课程，通常在大学的第三个学期或者第四个学期开设，基本上是64（16[×]4）学时，也有51（17[×]3）学时或48（16[×]3）学时，以王高雄等编著的《常微分方程》[7]为主要参考教材，每个教学班级的人数在60～150人之间不等。根据数学与应用数学专业的培养方案和教学大纲，可以将常微分方程课程主要教学内容分为基础模块（概念、定义、性质，定理，可求解析解的方程，求解方法）、应用模块（模型的建立与应用，方法的应用）和拓展模块（理论知识的拓展和方法的拓展），根据课程知识与技能要求分为了解、理解、掌握、学会四个层次。

在此前提下，针对基础模块中需要掌握的概念和定义可以采用讲授法与关键词卡片法，需要掌握的性质与解得结构采用讲授法、自主学习法和交互式学习法以及探讨式学习法;基础模块中需要掌握的定理宜采用讲授法、项目式教学法、可视化教学法、Seminar教学法、探讨式教学法教学;基础模块中需要理解的定理主要采用讲授法教学;基础模块中需要学会求解的方程主要采用案例式教学法、自主学习和交互式学习法、能动性学习法、讨论式教学法、实践教学法教学;基础模块中需要学会的方法主要采用自主学习和交互式学习方法、能动性学习法、讨论式教学法教学。应用模块中需要了解的方程或模型的建立或方法的应用可以采用项目式教学法、PBL教学法、体验性教学法、可视化教学法、实践教学法教学;应用模块中需要理解的方程类型的举例可以采用情景模拟法、PBL教学法、实习作业法、探究法等教学。拓展模块中需要掌握的方程的平衡点、解得性态以及Hamiltonian方程可采用Seminar教学法、发现法、PBL教学法以及讨论式教学法教学;拓展模块中需要掌握的研究方法主要采用项目式教学法和实验与实践教学法、读书指导法教学。

（二）作为专业核心课的分模块教学法

常微分方程课程作为计算数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的专业核心课程，通常在大学的第三个学期开设，基本上是48（12[×]4）学时，40（10[×]4）学时或者32（8[×]4）学时，以张伟年、杜正东，徐冰编著的《常微分方程》[8]为主要参考教材，教学班级的人数在60～150人之间不等。根据计算数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的培养方案和教學大纲，可以把常微分方程课程主要教学内容分为基础模块、应用模块和拓展模块，每个模块都需要达到了解、理解、掌握、学会四个层次的教学目标。针对基础模块中需要掌握的常微分方程基本概念与复值解部分内容教学采用讲授法与关键词卡片法，高阶线性方程解的结构与性质教学采用讲授法、自主学习法和交互式学习法;基础模块中需要理解的一阶线性方程组解的存在唯一性定理教学可主要采用讲授法，基础模块中需要学会求解的方程的教学主要采用案例式教学法、探讨式教学法、实验教学法;基础模块中需要掌握的方法教学主要采用自主学习和交互式学习方法、实验与实践学习法。应用模块中需要理解的方程模型的建立以及实际问题分析求解教学可采用PBL教学法、体验性教学法、实践教学法;应用模块中需要应用初等积分法来解决的问题可以用探究法、能动学习法来教学;应用模块中需要理解的拉普拉斯变换法、欧拉方法、龙格-库塔方法等方法的应用教学可以采用案例式教学法、讨论式、实践教学法。拓展模块中需要了解的Picard存在唯一性定理、解的延拓定理、依赖性定理及比较定理教学可采用讲授法、项目式教学法、Seminar学习法。拓展模块中需要掌握的方程的平衡点、解得性态以及Hamiltonian方程教学可采用PBL教学法、Seminar学习法以及讨论式教学法;拓展模块中需要掌握的研究方法的教学主要采用项目式教学法、讨论式和实验与实践教学法。

（三）作为非数学专业公共课的分模块教学法

我国高校非数学类专业几乎不把常微分方程作为单独一门课程来开设，而是融在高等数学课程里作为一个章节的内容，属非数学类专业公共课程学习内容，通常在大学的第一个学期开设，基本上是14学时，以同济大学数学系编著的《高等数学》[9]为主要参考教材，公共课教学班级的人数在100～200人之间不等。根据高等数学教学大纲要求，可以将常微分方程这一章节主要教学内容分为基础模块、应用模块和拓展模块，按要求分为了解、理解、掌握、学会四个层次组织教学。针对基础模块中需要掌握的常微分方程基本概念教学采用讲授法与关键词卡片法，高阶线性方程解的结构与性质教学采用自主和交互式学习法;基础模块中需要了解的可化为变量分离方程的方程与Bernoulli方程教学可用讨论式教法、自主和交互式学习法;基础模块中需要学会求解的方程的教学主要采用案例式教学法、探讨式教学法、实验教学法;基础模块中需要学会的常数变易法的教学可采用启发式、案例式、自主学习和交互式学习方法。应用模块中需要了解的方程模型的建立以及实际问题分析求解教学可采用PBL教学法、实践教学法;拓展模块中需要理解的一阶常系数线性微分方程组的求解教学可用启发式、探讨式教学法。

2017年1月，教育部部长陈宝生在全国教育工作会议的工作报告中指出，“要逐步推开‘一制三化（导师制、小班化、个性化、国际化）人才培养改革”，这为我国高校的教育教学改革明确了一个主要方向。但是，我国高校与西方国家高等教育发展历程不同，教育环境和教育思维模式也不尽相同。我国高校的教育传统、教学理念和思维模式决定了对高校教学方法进行改革需要立足校情、循序渐进，外国高校的一些教学方法固然很好，但也不能照搬照抄，需取长补短、互相借鉴。具体到常微分方程课程，中外高校在其教学内容、课程设置、教学方法与手段、实验环节、考核方式等方面都有所不同，就教学班级人数众多而实行课程改革的教师及资源短缺这一现实问题，有些原本效果很好的教学方法根本就无法实施或即使勉强实施了效果也不佳。教学原本有法，但无定法。在教学实践中应根据常微分方程课程性质和不同模块的划分情况，灵活使用不同的教学方法，以提升教学效果、实现教学改革目标。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 于苗，郭慧馨.浅析中西方教育思维模式下课堂教学方法的差异[J].科教导刊，2010（6）：29-30.

[2] 郝景亚.澳大利亚和中国运用PBL教学法的比较研究[J].淮海工学院学报（人文社会科学版），2013（19）：72-76.

[3] 周霞.中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2016（4）：118-123.

[4] 周霞.应用型人才培养模式下常微分方程双语教学探讨[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2012（4）：74-77.

[5] 周霞水莉莉，张德然.常微分方程教学中数学建模与应用能力的培养[J].科教导刊，2015（3）：105-106.

[6] 陈方红，欧阳子龙.改进教学方法：国外经验及启示[J].南昌工程学院学报，2012（2）：56-60.

[7] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[8] 张伟年，杜正东，徐冰.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[9] 同济大学数学系.高等数学（第七版）上册[M].北京：高等教育出版社，2014.

[責任编辑：刘凤华]