浅议当立体几何遇见向量

摘 要：本文从两个角度通过对空间向量法对解决立体几何的“方便”和“贡献”的论述，对比综合法，指出我们面对不同的立体几何题应该具体问题具体分析，“两条腿走路”，两种方法不可偏废其一。

关键词：向量法；综合法；空间想象力；立体几何

自从2003年4月颁布《普通高中数学课程标准（实验）》以后，空间向量便成为高中数学一个重要的章节，在平面向量的基础上，将概念和运算迁移拓展到空间，并且将空间向量知识点和立体几何知识点相互联系贯通，由此，立体几何遇见空间向量。向量法作为立体几何定理综合法的一个补充，为解决空间中图形元素的平行、垂直以及度量角距离等问题提供了新的几何视角。

一、 向量法的优越性

问题1 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD。E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°。

（1） 在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（2） 若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA與平面PCE所成角的正弦值。

上述题目是选自2016年四川省高考试题，笔者特意分别在学完必修2第二章点线面的位置关系后和选修2-1第三章空间向量和立体几何后分别给出了这题。给出之后，课堂同学们的反应相差甚远。

在第一次给出这个题目的时候。

师：对于第一问，同学们想怎么解决？生：CD∥平面PBE。

师：那E点在哪呢？生：E点在CD上。

师：E点在平面PAB内又在CD上，那在哪？生：在CD与平面PAB的交点处。

师：那交点在哪呢？生：延长DC，AB，它们的交点即为要找的点M。

师：那第二问呢？二面角P-CD-A的平面角怎么作？生：∠PDA。

师：对。直线PA与平面PCE所成角呢？我们首先要找直线在平面PCE内的射影。

同学们思考了一会，都束手无策，不知道怎么去作直线在平面PCE内的射影，于是下面我就开始了讲解。

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH。易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE。于是CE⊥平面PAH。

所以平面PCE⊥平面PAH。

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE。

所以∠APH是PA与平面PCE所成的角。

当我把∠APH作出来以后，同学们很快地求出sin∠APH=AHPH=13。在第二问中，作出线面角是个难点，辅助线该怎么作，由于同学们对立体图形的整体把握并不是很到位，再加上这个第二问本身就存在难度，所以同学们束手无策。

但是当我在学完空间向量与立体几何后再次给出这个题目的时候，发现同学们对第二问采取建系坐标法，很快地做出了答案。

可以看出，空间向量的建系坐标法相比较于定理综合法而言，化繁为简，化难为易，让学生摆脱空间图形中让人眼花缭乱的点线面的位置关系的束缚，不需要添加辅助线，在空间立体感上要求低很多，直接通过向量的运算解决空间立体几何的平行、垂直和角度等问题，因此，备受师生们的追捧青睐，向量法也逐步成为当前高考应试的主要方法。为了使学生能够快速突破空间平行、垂直以及角度距离等难度很大的立体图形背景，部分教师在立体几何初始教学中就开始向学生传授向量的建系坐标法，当然这值得商榷。

二、 向量法的愚笨

问题2 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。

（1） 证明：PO⊥平面ABC；

（2） 若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。

该题取自2018年全国卷2（理科），第一问，同学们很容易证明PO⊥平面ABC。只要证明OP⊥OB，OP⊥AC，但是第二问同学们好像只会走建系坐标法这条路。

师：过程不难，但是总感觉繁琐。用综合法行不行呢？（同学们开始自己尝试作出二面角的平面角和线面角）

不一会，同学A举手示意。

生A：过C点作CG⊥平面PAM，垂足为G，过C点作CH⊥PA，交PA于H，连接HG，PG，则∠GHC=30°，在等边三角形△PAC中，PC=4，所以CH=23，从而CG=3，∠GPC为所求的线面角，在Rt△GPC中，sin∠GPC=GCPC=34。

师：非常棒的解法！还有没有其他同学想出这个方法？（同学们陆续举手）

对比以上两种解法，很显然，建系向量法要比综合法显得愚笨很多，综合法只要作出二面角的平面角和线面角就可以解决这个问题，不需要像建系坐标法那样确定点M的具体位置，避免了繁冗的计算，巧妙地结合了二面角的平面角和线面角的图形特征。

新课标指出：在教学中，鼓励学生灵活选用向量法和综合法，从不同角度解决立体几何问题。在数学教学实践中，学生能够运用知识解题是基本，但是在学习知识的过程中，学生的思维能力的发展对后续的进一步学习更加重要，向量法可能很快地让学生解决问题，是一个很好的应试方法，但是综合法在解决问题的过程中，通过直观感知、观察发现、演绎证明等过程，培养建立逻辑推理能力。在教学中，应该遵循教学规律和学生的认知规律，循序渐进，步步为营，不要对综合法和向量法厚此薄彼，具体问题具体分析，学会选择恰当的方法，最后实现融会贯通，灵活运用。

参考文献：

[1]薛金星.2018年全国及各省市高考试题全解数学卷[M].西安：陕西人民教育出版社，2018.

[2]薛金星.2016年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2018.

[3]方孝钏.非坐标形式向量法解高考立体几何题的尝试与思考[J].中学数学教学参考，2010.

作者简介：

余海斌，安徽省淮南市，淮南第二中学。