粘性液体在毛细管中的流速与温度特性研究

李明慧，高晶敏，刘仲馨

(北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192)

0 引言

水平均匀直圆管中粘性液体作层流运动时体积流量与管子两端的压强差、管内半径、长度以及液体动力粘度存在一定的定量关系，该定量关系被称为泊肃叶定律[1-3]。液体运动粘度和密度决定液体动力粘度。将管子两端的压强差看作广义压强差，泊肃叶定律在非水平均匀直圆管中同样成立[3]。毛细管作为均匀直圆管的一种，在工程中有着十分广泛的应用[4-6]。在医疗输液系统中，通过精确控制流经毛细管粘性液体的流速可以提高输液流速的精度。在毛细管流速控制的过程中，泊肃叶定律对毛细管的尺寸和流经的粘性液体提出了一定的限制条件[7]。

在实际的毛细管流速控制系统中，分析流速与温度的关系至关重要。温度引起粘性液体的运动粘度和密度变化，从而改变液体的动力粘度，改变液体的流速。因此，首先需要确定液体运动粘度和密度与温度的关系，进而建立液体动力粘度与温度的关系，为毛细管粘性液体的流速控制提供准确的流速温度关系模型。路阳[7]研究了粘性液体在毛细管中运动时流速与管子结构和动力粘度的关系，但未探索温度对流速的具体影响；周宏志[8]通过实验得出原油的动力粘度与温度的数据，采用计算机技术拟合出粘温系数，从而得出更加准确的粘温模型；李兴虎等[9]研究了温度和压力对润滑油运动粘度的影响，给出了运动粘度与温度的经验表达式，并且表明常压下，压强对润滑油的运动粘度的影响可以忽略不计；董德浩等[10]研究了推土机箱用润滑油在40～100 ℃时运动粘度的变化，采用数值分析方法，提高了粘温模型精度，为在线监测实时运动粘度提供理论依据。目前，只是研究了粘性液体的粘温特性，不同温度下粘性液体经过毛细管时的流速特性还没有定量关系式。

针对毛细管中的流速温度特性，本文分析了粘性液体经过毛细管时流速的多个影响因素。以低温润滑油为粘性液体的样品，研究了其在常压下，温度在0～40 ℃变化范围时，润滑油运动粘度、密度和动力粘度与温度的关联表达式，确立了液体经过特定毛细管时流速与温度的数学模型。结果表明，用Walther(b)方程描述低温润滑油的运动粘度与温度的关系更加精确，密度与温度符合线性关系，动力粘度与温度成类指数关系，低温润滑油流速与温度成一种非线性关系。研究结果为毛细管粘液流速控制进行温度补偿提供了依据。

1 毛细管流速

在流体力学中，液体经过毛细管的体积流量(又称流速)可以通过泊肃叶定律来反映，流速大小不仅与毛细管自身的结构有关系，同样与液体的性质有关。粘性液体通过毛细管的流速为

(1)

式中：r为管内半径；L为管长度；η为液体动力粘度；ΔP为毛细管两端的广义压强差。

式(1)成立需要满足以下条件：①液体为不可压缩的粘性流体；②液体的运动形式为层流，且各流层为匀速运动。层流条件使推导时可以应用牛顿粘滞定律，各流层匀速运动满足了流层受力平衡和粗细均匀流管中连续性原理的要求；③流管为无限长圆管。无限长假设就是管的长度远大于管的内径，该假设可使流量计算中忽略边缘效应，直圆管假设保证流层形状为圆管形。

动力粘度η与运动粘度μ的关系为

η=μ×ρ

(2)

式中ρ为液体密度。

由式(1)知道，当毛细管的管内半径、长度和管两端的广义压强差确定时，流量大小仅与液体的动力粘度有关；由式(2)看出，动力粘度与润滑油的运动粘度和密度存在密切关系。分析温度对毛细管流速影响，首先需要确立润滑油运动粘度和密度与温度的相互关系，进而确定动力粘度与温度的表达式，最后计算出润滑油经过毛细管时流速温度模型，从而进行流量控制。

2 润滑油运动粘度与温度模型

目前，对于润滑油运动粘度与温度的关系已经进行了大量的研究，并且提出了许多粘温模型。由于不同润滑油粘温特性存在较大差别，建立本文使用的润滑油粘温模型还是有着非常强的实际意义。目前，应用最广泛的粘温关系式主要为Andrade方程[11]、Walther方程[12]、Vogel方程[13]3类。

Andrade方程为

lnμ=A+BT-1+CT-2

(3)

式中：μ为油品运动粘度；T为温度；A、B、C为油品相关系数。

该类粘温模型较为简单，计算精度略低。

Walther方程为

lglg(μ+0.8)=A+Blg(T+273.15)

(4a)

lglg(μ+C)=A+Blg(T+273.15)

(4b)

该方程根据经验总结得出，式(4a)的常数C直接取经验值，式(4b)是通过回归分析得出。从式(4a)可看出，测得2个温度下的粘度值可以计算相关系数A和B，模型精度较低。本文采用多组温度下的实验数据拟合相关系数A、B和C，从而提高模型精度。

Vogel方程为

lnμ=A+B/(T+C)

(5)

3 模型参数确定

3.1 低温润滑油运动粘度与密度测定

润滑油的运动粘度测定采用毛细管法。在某恒定的温度下，测定一定体积的液体在重力作用下流过一个经标定的玻璃毛细管粘度计的时间。这个时间与毛细管粘度计标定常数的乘积即为该温度下测试液体的运动粘度[14]。在运动粘度测定过程中，首先需要保证润滑油的温度精度控制在±0.05 ℃；其次，确保润滑油在毛细管粘度计的流动时间在200～500 s之间。

润滑油运动粘度的测定按国家规定的标准进行。温度控制仪器选择恒温恒湿试验箱。根据油品特性选择3种规格的毛细管粘度计。本文作者分别测量了低温润滑油在0、5、10、15、20、25、30、35、40 ℃下的运动粘度，如表1所示。

表1 不同温度下低温润滑油的运动粘度和密度

表2 粘温模型拟合参数A、B、C及其拟合结果

目前，密度的测量方法主要有密度计法、比重瓶法及U型振动管法[15]，在温度0～40 ℃范围内变化时，润滑油的密度会发生变化。本文作者采用密度计法测量出0、5、10、15、20、25、30、35、40 ℃下低温润滑油的密度大小，如表1所示。

3.2 低温润滑油运动粘度与温度模型参数确定

为了得到低温润滑油精确的粘温模型，采用Andrade方程、Walther方程和Vogel方程对表1数据用数值分析方法进行拟合处理，拟合关系曲线如图1所示。

粘温模型的相关系数通过MATLAB采用最小二乘法进行回归分析。模型优劣的评价标准分别为模型计算得到的运动粘度与实验粘度的平均偏差r、拟合后的标准差δ和曲线拟合度R2。上述3类粘温模型的拟合参数及拟合结果如表2所示。

从表2中可以看出，Walther(b)方程的拟合度最好，为0.999 3；Walther(b)方程的平均偏差和拟合后标准偏差均为最小。Walther(b)粘温方程适合表征低温润滑油的粘温特性，计算精度更高。

3.3 低温润滑油密度与温度模型参数确定

润滑油密度与温度的关系为

ρ=m+nT

(6)

式中：m、n为润滑油拟合系数。 采用MATLAB利用最小二乘法拟合表1的实验数据，拟合度为R2为0.999 3，平均偏差d为0.080 6，求得低温润滑油密度与温度关系式(6)中的系数m为905.2 2，系数n为-0.61，拟合曲线如图2所示。

图1 四种粘温方程的拟合曲线

图2 密度与温度拟合曲线

将所求出的m、n的值代入式(6)计算出，低温润滑油密度与温度方程为

ρ=905.22-0.61T

(7)

3.4 低温润滑油动力粘度与温度关系确定

将表2中的拟合参数代入式(4b)计算出，运动粘度与温度模型为

lglg(μ-5.9717)=8.5355-3.3015lg(T+273.15)

(8)

由式(7)计算出式(2)中的变量ρ，由式(8)计算出式(2)中的变量μ，将变量μ和ρ代入式(2)计算出低温润滑油动力粘度为

η=

(9)

选取温度变化范围为0～40 ℃，利用式(9)通过MATLAB拟合出动力粘度与温度的关系曲线如图3所示。

图3 动力粘度与温度的关系曲线

从图3可以看出，温度在0～15 ℃区间内动力粘度随温度变化较快，15～40 ℃区间内动力粘度随温度变化平稳。

4 毛细管流速控制温度实时补偿

4.1 毛细管流速温度模型建立

由式(1)可知，毛细管管内半径、管长度和管两端压强差一定时，润滑油通过毛细管的流速与润滑油动力粘度成反比；由式(9)可知，润滑油动力粘度与温度成类指数关系。通过式(9)计算出式(1)中的变量η，设毛细管管长L=10 cm，管内半径r=1 mm，将变量η、L和r代入式(1)计算出，低温润滑油通过毛细管的流速为

Q=

(10)

4.2 毛细管流速温度实时补偿

由式(10)可知，当毛细管的几何尺寸确定时，低温润滑油通过毛细管的流速可以写为

Q=f(K，ΔP，T)

(11)

式中：T为温度；ΔP为压强。

5 结束语

为提高粘性液体在毛细管中的流速控制精度，本文分析了低温润滑油经过毛细管的流速与温度特性。首先确定了低温润滑油运动粘度与温度的Walther(b)模型，建立了密度与温度的线性关系，进而建立了低温润滑油动力粘度与温度的类指数模型。通过0～40 ℃的温度试验数据，拟合得到低温润滑油动力粘度与温度的模型中的参数，进而确立了低温润滑油通过毛细管时流速与温度的非线性关系。采用流速温度模型，对毛细管流速控制进行温度实时补偿。