四旋翼飞行器有界输出控制

2019-03-14师五喜李康利

天津工业大学学报 2019年1期

师五喜，李康利

（天津工业大学电气工程与自动化学院，天津 300387）

近年来，四旋翼飞行器由于其结构简单且具有垂直起降、定点悬停、侧飞、倒飞等高机动性的特点而被广泛关注，其中控制器的设计是一个研究热点，各国学者都在设计不同的控制器对四旋翼无人机的位置、姿态进行控制。目前对四旋翼飞行器的控制方法主要有 PID 控制[1]、反步法控制[2-3]、动态面控制[4-5]、滑模控制[6-7]、自抗扰控制[8]等。虽然这些方法有效地实现了四旋翼飞行器的稳定控制，但鲜有考虑其有界输出问题。对四旋翼飞行器来说，其位置、姿态的有界输出控制有助于改善其动态性能，且能够有效保证四旋翼飞行器和操作人员的安全。

目前实现有界输出控制的方法主要有：基于不变集和允许集的控制[9-10]、模型预测控制[11-12]、参考设定法[13]。然而，以上方法要么依赖于数值计算要么所提出的算法相当复杂，很难应用到实际系统中。一些学者应用障碍Lyapunov函数（barrier Lyapunov function，BLF）方法实现了有界输出控制，文献[14]针对一类严格反馈非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器来保证输出有界。文献[15]在文献[14]的基础上提出了一种时变BLF，使得输出值的约束是随时间变化的。在文献[16]针对一类含有Bouc-Wen迟滞模型的输出受限非线性系统，将BLF和反步控制方法相结合来设计控制器，解决了系统输出有界问题。文献[17]针对海洋表面船只系统的输出受限问题，利用BLF结合反步法设计控制律，并用神经网络来逼近未知模型参数和干扰项。但是基于BLF函数的非线性系统反步控制中，存在控制器结构复杂、约束量初值选取区间小等问题，针对以上问题文献[18]提出了一种基于非线性映射的自适应反步控制方案，增加了系统初值选取，降低了控制器设计的复杂性。文献[19]提出采用切换控制方法，通过滑模控制将系统约束量控制到BLF的收敛域之内，然后采用BLF和反步法设计控制器，实现输出有界控制。文献[20]针对一类具有未建模动态的非线性系统，提出一种基于BLF和自适应动态面的控制方案，采用动态面的控制方法相较于反步法，降低了控制器设计的复杂性，但是反步法和动态面控制方法需要对控制对象进行精确建模，抗干扰能力较差。由文献[2-7]可知，与反步法和动态面控制方法相比，滑模控制器设计更为简单，具有较强的鲁棒性，抗干扰能力较强。因此本文提出了一种BLF结合滑模变结构的方法设计四旋翼飞行器的控制器，该方法不仅能使系统的实际输出跟踪期望输出，而且能够保持在预先设定的有界区间内，最后通过仿真和实验证明了该方法的有效性。

1 系统建模和问题描述

四旋翼飞行器的简化模型如图1所示。

图1中定义了2个坐标系：机体坐标系{B}和地面坐标系{E}，满足右手定则，规定y轴正方向为飞行器飞行的正方向。Fi（i=1，2，3，4）为飞行器4个旋翼产生的升力，旋转方向如图1所示，φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角和偏航角。

忽略陀螺效应、参数摄动等模型不确定影响及外部干扰，采用牛顿欧拉公式推导，四旋翼飞行器简易的动力学模型为[7]：

式中：m为四旋翼飞行器质量；φ、θ和ψ分别为滚转角、俯仰角和偏航角；Ix、Iy、Iz分别为关于 x、y、z轴的转动惯量；l为力臂；U1、U2、U3、U4为中间控制输入。

式中：F1、F2、F3、F4分别为4 个电机的升力；τ1、τ2、τ3、τ4分别为4个电机产生的反扭矩。

将式（1）改写为：

式中：a1=（Iy-Iz）/Ix；a2=（Iz-Ix）/Iy；a3=（Ix-Iy）/Iz；b1=l/Ix；b2=l/Iy；b3=1/Iz；Ux、Uy、Uz为：

由上式可知，四旋翼飞行器动力学模型6个通道，每一个通道都可以写成如下形式的二阶系统：

式中：x1、x2为状态变量；f（x）∈R为模型已知部分；b为模型已知参数；u∈R为系统的控制输入；y1∈R为系统的输出。

本文的控制目标是设计一种基于BLF和滑模控制的控制器，使得式（5）所描述的四旋翼飞行器系统的输出y1能跟踪期望输出y1d，同时保证闭环系统的所有信号半全局一致终结有界，且满足|y1|＜kc的约束条件，其中kc＞0，为设定的常值界限。

为了保证四旋翼飞行器系统的输出值有界，本文提出以下引理：

引理1：对于任意正常数λθ考虑如下滑模面

成立，则有输出值|y1|＜ kc，∀t≥0，其中 kc＞ 0。

由于|sθ|＜ λθ（kc-A0），所以

所以

y1＜y1d+kc-A0＜kc

同理可得

y1＞-kc

综上所述，若|sθ|＜λθ（kc-A0）且满足|e1（0）|＜kc-A0的约束条件时，则有系统的输出值|y1|＜kc。

2 障碍Lyapunov函数

由引理1可知，要保证四旋翼飞行器输出值有界，必须先要保证滑模面有界，令 kb= λθ（kc-A0），本文定义了如下的障碍Lyapunov函数（BLF）：

引理 2[11]：对于任意正常数 kb，δ:={x1∈R:|δ|＜ kb}⊂R和N:=Rl×δ⊂Rl+1和为开集，考虑系统

取 η :=[ω，δ]T∈N，h:R+× N→Rl+1在定义域内是关于 t分段连续且满足局部一致Lipschitz条件的。假设存在函数U:=Rl→R+和V1:δ→R+在各自的定义域连续可导且正定，并满足

式中：γ1、γ2属于无穷大κ类函数。令V（η）:=V1（δ）+U（ω），δ（0）在集合 δ∈（-kb，kb）内，若不等式

成立，则有 δ∈（-kb，kb），∀t∈[0，∞）。

由引理2可知，若采用式（9）所示的障碍Lyapunov函数（BLF），只要满足V˙≤0和|sθ（0）|＜kb的条件，就会得到|sθ|＜ kb，∀t≥0，即|sθ|＜ λθ（kc-A0）。

3 控制系统设计

3.1 四旋翼飞行器的双闭环控制

根据四旋翼飞行器模型的特点，设计双闭环控制回路，内环为姿态控制，外环为位置控制，如图2所示。

图2 四旋翼飞行器的双闭环控制Fig.2 Double closed loop control of quadrotors

由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着藕合关系，俯仰角和滚转角的期望值是通过姿态解算模块得到的。

在实际飞行中，由于俯仰角和滚转角都很小，故对其进行小角度假设，即 sin φ≈φ，cos φ≈1，sin θ≈θ，cos θ≈1。

由式（4）可得

反解算得到φd和θd

3.2 控制器设计

为了保证所有的输出值有界，本文内外环控制器都采用BLF和滑模相结合的方法设计控制器，下文以俯仰通道为例进行设计。

结合式（5）可得

选取指数趋近律，所以设计如下形式的趋近律

其中k1、k2为正常数。

结合式（16）—（18）设计如下控制律

定理1针对控制对象（5）所描述的四旋翼飞行器系统，若采用（19）式的控制律且满足|eθ|＜（kc-A0和|sθ（0）|＜kc时，则可使四旋翼飞行器系统的输出y1跟踪期望输出y1d，同时保证|y1|＜kc。

证明：定义式（9）所示的障碍Lyapunov函数，并对其求导，将式（17）和式（19）代入可知

由引理1和引理2可知，定理1成立。

同理可得到其他通道的控制器：

4 仿真和实验

4.1 仿真

本文通过Matlab/Simulink仿真来验证所设计控制器的有效性，将本文所提方法（SMC+BLF）与传统滑模控制方法（SMC）进行了对比仿真，两种情况初始值、期望值和所使用的滑模面相同。

四旋翼飞行器的初始值为

期望值为（xd，yd，zd，ψd）=（0.5，0.5，0.3，0）。

四旋翼飞行器输出值的界限可以根据实际飞行环境进行设定，经过查阅四旋翼飞行器实物飞行实验资料可知，飞行器飞行过程中滚转角和俯仰角在飞行过程中不能超过40°（弧度约为0.698），否则很容易产生飞行事故，因此，本文仿真中位置和姿态的输出界限分别设为kc1=1.1 m，kc2=0.6 rad，以俯仰通道为例，kb=λθ（kc-A0）=0.6λθ，eθ（0）=0，sθ（0）=e˙θ（0）+λe（0）=0，满足|sθ（0）|＜kb，|eθ（0）|＜kc-A0，的条件，同理易知四旋翼飞行器的所有通道都满足初始条件。

四旋翼飞行器的参数为

m=1.79 kg，g=9.81 m/s2，l=0.2 m，Ix=Iy=0.03 kg·m2，Iz=0.04 kg·m2。

控制器参数选择为：λx=λy=1.41，λz=λθ=λψ=3，ki=0.5（i=1，3，5，7，9，11），kj=5（j=2，4，6，8，10，12）。

仿真结果如图3和图4所示。

由图3和图4可知，四旋翼飞行器在传统滑模控制器的控制下，输出值有较大的超调，都达到或超过所设定的界限，需要较长的时间跟踪上期望值，在本文设计控制器的控制下，相对于传统滑模控制器的控制，输出值全局都在预先设定的界限之内，超调值和跟踪时间都大大减小，输出值在两种控制器的控制下，控制效果非常接近是由于这两个通道与其他通道不存在串级控制、控制模型较为简单而且仿真为理想环境造成的。

4.2 实验

本文利用加拿大Quanser公司开发的四旋翼无人机实验平台进行实验验证，整个Quanser无人机系统的实验环境包括：1架Qball2四旋翼无人机、6个Optitrack摄像头、1台PC主机、内嵌实时控制软件QUARC的Matlab/Simulink和Wifi无线通信，实验环境如图5所示。

图4 姿态环仿真结果Fig.4 Simulation results of attitude loop

图5 实验环境示意图Fig.5 Diagram of experimental environment

由于四旋翼飞行器姿态和位置之间存在着藕合关系，其水平位置的变化，是通过改变姿态角的来实现的，可以说姿态角的控制是实现四旋翼飞行器稳定飞行的前提和基石，本文仅进行了姿态实验验证。

本文以俯仰通道为例，用本文所提方法（SMC+BLF）与传统滑模控制器（SMC）进行角度跟踪对比实验，两种方法采用相同的初始值和期望值，初始值约为0.4°，期望值为10°，设置的界限为21°，易知本实验初始时刻的状态满足初始条件的要求，具体结果如图6和图7所示。其中图6为传统滑模（SMC）控制结果，图7为本文所提方法（SMC+BLF）控制结果。