基于Excel的水工碾压式沥青混凝土骨料合成级配计算

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(1.西藏大唐扎拉水电开发有限公司，西藏 昌都 854000； 2.中国人民武装警察部队 水电第八支队，重庆 巴南 401347)

水工沥青混凝土的理论、试验方法源于并发展于交通工程，结合水利工程自身特点，近几年在计算理论、试验方法等方面发展较快，逐步完善了水工碾压式沥青混凝土的理论实践体系。水工碾压式沥青混凝土在配合比设计中，主要确定沥青用量和骨料级配两个主要参数。与沥青用量相比，骨料级配确定方法较为复杂，一种方法是在推荐级配范围内选择一条或几条级配曲线作为骨料的标准级配；另一种方法是采用丁朴荣公式计算得到骨料的标准级配。在实际应用中，较多采用丁朴荣公式确定骨料的标准级配，即初步选定的标准级配，与不同沥青用量组合，再经室内试验，最终确定用于后续试验及现场施工用的目标配比及目标级配。

在实际沥青混合料配合比设计中，人工加工的各种骨料的级配往往很难完全符合某一级配的范围。通常采用两种或两种以上的集料配合起来才能满足级配要求，这就需要对骨料合成级配进行设计和计算，即确定组成混合料各集料的比例。传统的骨料配比设计方法比较多，主要有图解法、试算法、电算法等。其中，图解法和试算法应用较多，但这两种方法主要通过手工完成，工作量非常大，出错率高，精度低，且很难得到最佳的配合比方案[1]。随着计算机技术的快速发展，利用计算机解决工程中的数学问题已不是一件难事，常用的方法有线性规划法、多目标优化等方法，可以利用Excel、MATLAB等专业数学工具进行计算。

1 骨料级配合成数学模型的建立及求解

1.1 数学模型的建立

假定沥青混合料中骨料由m种不同粒径的粗细骨料(含填料)合成而来，级配分析中共有n级筛孔，任一粒径骨料i在筛孔j通过率为pij，目标级配中任何一级筛孔的通过百分率为qj，其值为通过丁氏公式计算，并经室内配合比试验确定的目标配合比级配，见表1。

表1 沥青混合料级配表

在理想状态下，qj的值是由各种集料在该级筛孔的通过百分率pij乘以各种集料在混合料中的用量x之和，见式(1)，该式即为骨料合成级配计算的数学模型[2]。

∑pijxi=qj

(1)

式中：i为集料种类，i=1，2，…，m；j为筛孔数，j=1，2，…，n。

式(1)可写成线性方程组的形式：

(2)

把式(2)中系数矩阵记为A，右端向量为q，则有：

Ax=q

(3)

1.2 数学模型的求解

对于式(3)的求解可以采用线性规划的方法，或将其转化为求解最优问题，用优化算法进行求解。在骨料合成级配计算中，一般采用四五种不同粒径骨料，而筛孔级数多达十余种，以致式(3)约束方程个数远大于未知数的个数。线性规划方法其实质就是求解正规方程组，因不同粒径骨料在各筛的通过率对合成级配影响也较大，往往导致该方程组无解，故该方法在应用中没有太多的实际意义。而将式(3)转化为求解最优问题，在理想状况下合成级配与目标级配二者之间完全吻合，即:

pijxi-qj=0

(4)

由于受各集料级配所限，式(4)一般无精确解答。通常情况下，设计级配与合成级配之间总存在一定偏差，即：

pijxi-qj=△j

(5)

△j为合成级配与设计级配在第j筛孔通过率之差。在这里构造函数Q(xi)如下：

(6)

式(6)中Q(xi)越小，合成级配与目标级配之间的偏差就越小，可以通过求Q(xi)的极小点和极小值的办法求出各集料的配比xi，并使xi≥0，∑xi=1。合成级配的计算可转化为求式(7)的约束极值问题[3]。

(7)

2 基于Excel求解实现

2.1 应用实例

某水利枢纽工程沥青混凝土配合比采用矿粉用量12%、最大粒径19 mm，级配指数n为0.4的目标配比，经丁氏公式计算的目标级配见表1。沥青混凝土拌和楼骨料采用4种骨料及填料拌制沥青混凝土，即大石、中石、小石、砂及矿粉，某次经拌和楼二次筛分系统筛分后骨料取样的级配见表2。

表2 骨料筛分结果统计表

2.2 用Excel的求解过程

用Excel对最优问题求解，利用Excel软件中数据菜单下规划求解功能实现。先选定可变单元格，代表实际问题中有待解决的未知因素，为规划求解的方案；再确定目标函数，即规划求解要达到的最终目标，一般为最大利润或最小成本等，本例为差平方和最小；最后确定约束条件，即确定未知因素的限制条件，规划求解的未知因素是否存在与约束条件有着密切关系，它对可变单元格中的值起着直接限制作用[4]。

2.2.1 计算数据表的建立

根据应用实例中骨料筛分结果统计表，建立分析数据表。其中，目标级配为经室内试验优选后确定，对组成混合料的每种粒径骨料限制条件在边界条件中显示。见图1。

图1 分析数据表

2.2.2 可变单元格的选定

实例中采用大石、中石、小石、砂及矿粉等5种骨料及填料合成沥青混合料的骨料，选择可变单元格及选择上述5种骨料配料比例的单元格，为规划求解结果输出区域，见图1中的M21-M25单元格。

2.2.3 确定目标函数

根据优化求解模型，在Excel中选定一单元格(理论上可任意选择，一般以方便现场操作为宜)，将分析数据表中各参数按照式(6)编写目标函数公式，以备下一步规划求解使用。

2.2.4 确定约束条件

组成沥青混合料的各粒径骨料的比例一要确保大于等于零，二要确保各比例之和等于1，约束条件对各粒径骨料比例起到直接限制作用。

2.2.5 规划求解

使用数据菜单栏下规划求解功能，在弹出对话框中选择目标函数，求其最小值，选择可变单元格的位置，输入各可变单元格的约束条件，需要说明的是对于xi≥0的约束条件，必须转化为-xi≤0进行输入，具体见图2-图3。输入完成后进行求解，求解结果见图4。根据求解结果，得到合成级配曲线与目标级配曲线，见图5。从图5中可以看出，合成级配曲线与目标级配曲线基本一致，采用Excel的规划求解功能进行骨料合成级配计算能够得到理想的结果，满足实际工程应用需要。

图2 规划求解参数的输入

图3 添加约束条件

图4 计算求解结果

图5 级配曲线图

3 结 语

在建立水工碾压式沥青混凝土骨料合成级配计算数学模型的基础上，采用优化求解的方法，利用Excel规划求解功能，编写相应计算程序，方便现场施工人员计算使用。经过在西藏某水利枢纽工程的实际应用，计算小程序在骨料级配合成计算方面使用方便，计算结果可靠，以此计算结果拌制的沥青混凝土性能指标满足设计要求。