基本不等式的常见解题策略

邓军民

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式.其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，数学表达式为：■≥■（当且仅当时取等号）. 基本不等式是高中数学中一个重要的不等式，它形式简单、灵活多变，在证明、求最值等方面有着广泛的应用. 运用基本不等式首先要满足“一正、二定、三相等”，其次要灵活构造和或者积为定值的项. 基本不等式常见的解题策略有如下几个.

策略一、配凑常数或系数

【例1】（1）函数f（x）=■+x （x<5）的最大值是______.

（2）（2019·泉州检测）已知0

A. ■          B. ■          C. ■          D. ■

解析：（1）因为x<5，所以5-x>0，

所以f（x）=-[■+（5-x）]+5≤-2■+5=-1.

当且仅当■=5-x，即x=2时等号成立，所以f（x）的最大值是-1.

（2）因为0

当且仅当x=1-x，即x=■时等号成立.

点评：恰当地拆项、添项、拼凑系数可以实现构造和或者积为定值，但拆与添的过程中，一要注意使用的条件（两数都为正）;二要注意等号成立的条件.

【练习1】（1）若函数f（x）=x+■ （x>2）在x=a处取最小值，则a等于（     ）

A. 1+■       B. 1+■       C. 3       D. 4

（2）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式为

S=3x+■+5， 0

已知每日的利润L=S-C，当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.

解析：（1）因为x>2，所以x-2>0，所以f（x）=x+■=（x-2）+■+2≥2·■+2=2+2=4，当且仅当x-2=■，即（x-2）2=1时等号成立，解得x=1或3. 又因为x>2，所以x=3，即a等于3时，函数f（x） 在x=3处取得最小值，故选C.

（2）当0

所以L=2x+■+2=-[（16-2x）+■]+18≤-2■+18=6，

当且仅当16-2x=■，即x=5时取到等号.

当x≥6时，L=11-x≤5. 所以当x=5时，L取得最大值6.

所以当日产量为5噸时，每日的利润可以达到最大值6万元.

策略二、常数代换

【例2】若直线■+■=1（a>0， b>0）过点（1， 2），则2a+b的最小值为_______.

解析：由已知可得■+■=1，

故2a+b=（2a+b）（■+■）=4+■+■≥4+2■=8，

当且仅当■=■即a=2，b=4时等号成立.

点评：如果由题给条件可得到形如■+■=1（m，n为常数）的方程，求ax+by（a，b，c，d都不为0）的最值时可利用“1”的代换，通过ax+by=（ax+by）（■+■）展开后构造乘积为定值. 注意本题中的条件也常以2a+b-ab=0形式给出.

【练习2】（1）若直线2mx-ny-2=0（m>0， n>0）过点（1， -2），则■+■的最小值为（     ）

A. 2        B. 6        C. 12        D. 3+2■

（2）（2019·大庆质检）若？兹∈（0， ■），则y=■+■的取值范围为（     ）

A. [6， +∞）    B. [10， +∞）     C. [12， +∞）    D. [16， +∞）

解析：（1）因为直线2mx-ny-2=0（m>0， n>0）过点（1，-2），所以2m+2n-2=0，即m+n=1，所以■+■=（■+■）（m+n）=3+■+■≥3+2■，当且仅当“■+■，即n=■m”时取等号，所以■+■的最小值为3+2■. 故选D.

（2）因为？兹∈（0， ■），所以sin2？兹，cos2？兹∈（0， 1），所以y=■+■=（■+■）（sin2？兹+cos2？兹）=10+■+■≥10+2■=16，当且仅当■=■，即？兹=■时等号成立，所以y=■+■的取值范围为[16， +∞）. 故选D.