例谈初中数学阴影面积的求法

摘 要：几何知识是初中数学的重要组成部分，同时也是学生进行深入学习的基础，求阴影部分的面积是初中几何常见的题型，也是几何知识应用的难点。初中平面阴影部分面积一般是由几个图形互相叠加而产生的不规则图形，这就要求学生要对所求阴影部分的面积进行思考，并分解或组合成新的规则图形，从而求出阴影部分面积。本文将初中求阴影部分面积的几种方法与大家进行探讨。

关键词：初中数学；几何试题；阴影部分面积；解题策略

求不规则几何图形阴影面积是初中几何的难点，同时也是高中几何概型知识的基础，帮助学生掌握几何体阴影部分面积的解题方法，不仅能让学生对平面几何有深入的了解，同时也能提升学生的思维品质，促进学生数学思想的提升，为学生以后的学习奠定基础。下面就结合具体试题对几种求阴影部分面积的试题方法进行论述：

一、 和差法

和差法是求平面图形阴影面积的有效方法，通过几个规则的图形的相加、相减得出所求阴影部分的面积。和差法又可以分为直接和差法和构造和差法，对于一些比较简单的图形组合，学生可以用和差法进行直接分析和解决，而对于一些复杂的图形组合，需要学生做辅助线构造和差法，从而有效地解决问题。

（一） 直接和差法

直接和差法的问题一般比较简单，学生直接就可以看出其中的图形组合，从而通过几个规则图形的加减就可以达到解题的目的。

【例题】 如图所示，以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，分别做半径为1的五个圆，已知这五个圆互相不重合，那么，图中阴影部分的面积是多少？

分析：由于阴影部分的面积由5个不规则扇形组成，不能直接计算。通過观察可以发现，5个扇形对应的圆心角为五边形的内角，则可以直接将这5个不规则扇形进行相加，从而求出阴影部分的面积：S=540°360°πr2=3π2。

（二） 构造和差法

对于比较复杂的阴影部分面积的求法，不能直接进行图形的加减，这就对学生的思维提出了新的要求，要求学生能够通过做辅助线来构造和差法，将不规则的图形转化为规则的图形，有效的解出阴影部分面积。

【例题】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. π+1B. π+2

C. 2π+2D. 4π+1

分析：本题所求的阴影部分面积不能直接通过和差法算出，需要学生做辅助线，连接OD，将所求的阴影部分转化为三角形和扇形的面积之和，从而根据已知条件可以得出S=12×2×2+14π×22=2+π，正确答案为B。

二、 割补法

所谓割补法，就是将阴影部分的面积分成几个部分，要求学生有一定的数学思想，能够对问题进行综合分析，将复杂的未知图形通过“割”“补”转化为简单的已知图形，从而再运用公式或和差进行问题的解答。初中常用的割补法有转化、全等、旋转、移动等，主要是将未知的图形或面积与已知的图形面积之间建立起关系，从而有效地解决问题。

（一） 转化法

在对一些求不规则阴影部分面积的试题的时候，教师要引导学生运用几何知识，将未知的阴影部分转化为已知的非阴影部分，从而构造出规则的图形，运用公式进行计算即可。这就要求学生对几何面积的转化要有灵活的运用，能够从具体的问题中进行分析和解答，从而有效的提升学生的学习能力。

【例题】 在圆O上有A、B、C、D四个点，已知AC、BD是圆O的直径，在ABCD所围成的四边形中，假如∠BAC=36°，AC=10cm，求图中的阴影部分面积。

分析，根据题意可知ABCD所围成的四边形为矩形，并且AO=BO=CO=DO，所以对角线将矩形分成的四个三角形面积相等，这样所求阴影部分△AOB和△COD面积就可以转化为△AOD和△BOC，这样根据∠BAC=36°，可以得出∠AOD=72°，则根据公式可以顺利地求出阴影部分面积为10π。

（二） 平移法

有些阴影部分面积不能直接求出，这就要求教师要引导学生根据问题进行分析，将其中的某一部分进行平移，构造出直观的量，与已知的条件建立起联系，这样就更容易将其中的阴影部分面积求出，拓展学生的思维，帮助学生掌握数学的思想方法。

【例题】 如图所示的两个半圆中，其圆心分别为M、O，已知在大半圆O中有一条直线AB，与圆O的直径CD平行，并且与半圆M相切于E点，AB=8cm，那么图中阴影部分的面积是多少？

分析：本题只有一个有数据的已知条件，在图中并不能直接的算出阴影部分的面积，因此可以将小圆M平移，让M点和O点重合，这样连接OE和OB，就构造出一个直角三角形，根据勾股定理可得：OB2-OM2=12AB2，而图中阴影部分面积是大半圆面积减小半圆的面积之差，因此可以得出S=12π（R2-r2），代入得8π。

割补法是求阴影部分面积的常用方法，其中还有全等、变形、旋转等方法，其主旨就是通过对图形进行割补，将阴影部分的面积转化为已知图形的面积，这样通过公式就可以顺利地求出了。

总之，求平面图形阴影部分面积是初中知识的重点，同时也是教学的难点，教师要引导学生由浅入深的逐步掌握各种几何图形组合的本质，让学生能够通过旋转、变形、转化等数学思想来对所求的阴影部分进行转化，将其转化为规则的图形，并和已知条件通过几何或是代数的关系建立起联系，这样不仅能提升学生的思维能力，同时也能提高学生的问题分析和解决能力。

参考文献：

[1]沈凌云.初中数学教学中数形结合思想的培养[J].数学教学通讯，2014（31）.

[2]杜远堂.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].语数外学习（初中版下旬），2014（07）.

作者简介：

武云辉，甘肃省白银市，甘肃省会宁县老君坡镇初级中学。