极限思想在中学函数解题中的应用

摘 要：极限思想是数学分析中的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。本文主要将运用极限思想的方法和常规的解题方法作对比，反映出极限思想在中学数学部分函数问题中的妙用。

关键词：极限思想；中学数学；函数；应用

函数是中学数学中十分重要的一个版块，几乎所有的数学知识都能用几何的形式以函数为中心观念结合起来。函数的涵盖面十分广，从一般初等函数到三角函数，而解决有关函数的问题的方法也多种多样，其中极限思想也是其中的一種，在较难的函数问题中运用极限思想能够适当的简化抽象复杂的运算，突破难以想到的难题。

一、 利用极限思想求未知变量的取值范围

【例1】 已知函f（x）=|lgx|，010，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是？

分析：若按一般解法：首先由分段函数可得函数的图像，根据对数函数的性质得出答案，用一般解法的难点在于许多同学不能自如的运用对数函数的性质，不易想到“-loga=logb”，从而不能求解该题。

利用极限思想求解该题思路如下：直接由该分段函数的图像可得出直线y=1与该函数的图像相交时即为最小值，此时a→0，b→10，c→10，故abc=10；当平行于x轴的直线趋近于x轴时取得最大值，此时abc=12，这个解法比较简单，对于基础薄弱成绩中等的学生依然适用。

二、 利用极限思想确定函数图像

【例2】 函数f（x）=2-2x2-2x+1的图像是（ ）

分析：此函数并不是我们平时常见的函数，函数图像不容易画出。但是利用极限思想可知，当x→1时，y→-∞，故可以排除A，C选项，又因为通过观察可知函数过原点，故选B；利用极限思想判断函数图像是中学中判断函数图像的既高效又快速的方法。

三、 利用极限思想确定函数值域

【例3】 函数f（x）=1+1x2的值域为（ ）

A. （1，+∞）B. （2，-∞）

C. [2，+∞）D. [1，-∞）

分析：若按一般解法，需要利用反函数，令y=f（x），因为y=1+1x2，故x2=1y-1，则由x2≥0可得1y-1≥0。计算可得y≥1，故值域为（1，+∞）。

利用极限思想求解该题思路如下：当x趋近于0时，f（x）趋近于正无穷，从而排除B，D两个选项，再由观察即可得当x=2时，函数值介于1到2之间，故选A。

四、 小结

极限思想是我们在大学的学习中所要着重培养的一种思维方式，它在整个数学史中占据了十分重要的作用，在中学的数学教学中我们也应该在潜移默化中培养学生的这种思维，要充分认识到极限思想在解题中的便捷性，以及在培养学生的创造性思维时的有效性，在素质教育的今天，我们不应该只教给学生大量的机械的解题方法，还应该重视各种数学思想的渗透。极限思想作为一种基础而重要的数学思想，应该在中学教育中重视起来。

参考文献：

[1]王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003：191-203.

[2]张宙奠，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2011：3-4.

[3]陈中华.极限与极限思想在中学数学中的应用[J].中学数学杂志（高中），2014（3）：32-33.

作者简介：

汪瑶，四川省南充市，南充市顺庆区西华师范大学。