基于快速有限剪切波变换的图像去噪*

荆 方，刘增力

（昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650500）

0 引 言

图像去噪（包括图像中高斯噪声的去除和随机脉冲噪声的去除）的目的在于有效抑制和消除噪声的同时还可以保持图像的边缘信息、细节信息以及良好的视觉效果，是当前图像处理领域的研究热点之一。数字图像去噪的方法大体上可以分为变换域和空间域两类。数字图像去噪还可以称作滤波，空间域的滤波方法有均值滤波、中值滤波、低通滤波以及维纳滤波等滤波算法。到目前为止，还没有一种图像去噪方法适用于全部情形下的任何噪声。一般情况下，针对不同情形的含噪图像往往采用不同的去噪方法[1]。

近几年研究的去噪方法主要集中在变换域，如今运用小波分析对含噪图像进行去噪处理已经成为一个热门研究[2]。利用小波变换[3-4]对含噪图像进行处理，可以有效滤除噪声，保留图像的边缘信息和细节信息，实现原图像的恢复。研究发现，一种“最优”的图像表示方法应该具有多分辨率性、局域性和方向性等特性[5-6]。但是，小波变换是各向同性的，只能较好地恢复含有水平方向、垂直方向和对角线方向的噪声图像，而对于其他方向的图像边缘去噪效果往往不是很理想。

针对图像去噪中出现的各个问题，近年来出现了一种新的多尺度几何分析[7]工具——剪切波变换（Shearlet Transform）[8]。传统的变换域图像去噪方法通常是基于某种多尺度变换，如超小波变换[9]、各类金字塔变换[10]等。Shearlet变换是近几年提出和逐渐成熟的超小波变换的一种，克服了传统小波变换缺乏方向表达能力的缺点，同时能采用相同的方式处理离散和连续数据。

本文结合剪切波变换的特点，利用剪切波变换多尺度多方向特性和可以对图像进行最稀疏表示的特性，提出了一种基于快速有限剪切波变换（Fast Finite Shearlet Transform）的图像阈值去噪方法。实验结果表明，本文算法可应用于含有高斯白噪声的光学灰度图像去噪，以获得具有高信噪比、更清晰的图像。

1 剪切波变换理论

剪切波变换（Shearlet Transform）是通过对一个基函数进行缩放、平移和剪切等仿射变换来构造具有不同特性的函数[8,11]，可以很好地表示二维甚至高维空间上曲线的特性，极大地弥补了小波变换的不足。剪切片最重要的特性之一是为卡通类函数提供最优的稀疏近似。在成像科学中，卡通类函数一直被视为各向异性特征的模型，如图1所示。剪切波变换本质上是复合伸缩小波变换[12]的一种特例，伸缩操作DM定义为：

图1 卡通类函数模型

其中，det表示矩阵的行列式，L表示可积空间，ψ∈L2(Rd)，GLd(R)表示实数域R上的d维可逆矩阵群。每个矩阵M可以分解为一个抛物线尺度矩阵（作为改变分辨率的矩阵）和剪切矩阵（作为改变方向的矩阵的乘积，其中，a＞0、s∈R，此时合成小波被称为剪切波。

平移操作Tt的定义为：

1.1 连续剪切波变换

连续剪切波系统可以表示为：

其中，a为尺度参数，s为剪切参数，t为平移参数。

假设 ψˆ可以写为：

可以得到傅里叶变换为：

每一个剪切波ψa,s,t在频域的支撑包含于：

于是， f ∈L2(ℜ)的连续剪切波变换可以表 示为：

ψ要满足容许条件，才能使连续剪切波变换等距，且存在逆变换。

如果ψ∈L2(R2)满足：

则称ψ为容许shearlet。

有了容许条件，就可以推导出重建公式的充分条件。重构公式表示如下：

剪切波的频域划分情况如图2所示。

图2 剪切波变换的频率平铺图

从图2能够看出，在不同大小的尺度下，剪切波ψa,s,t在频域内的支撑区间是一个关于原点对称的梯形区域，方向沿着斜率为l2-j的直线，梯形对的大小约为22j×2j。

由此可知，剪切波ψa,s,t是一个具备优良局部性的函数集合。随着尺度参数a的慢慢减小，含噪图像的剪切波变换的渐进衰减性不仅可以追踪图像的边缘位置，而且能够追踪边缘方向。

1.2 离散剪切波变换

将连续剪切波变换中的尺度参数a、平移参数t以及剪切参数s在适当的网格上进行采样，可以得到一个对应于Parseval紧框架的离散剪切波变换。由此，对剪切波系统中的各向异性矩阵Aa基于二进制进行采样，对剪切矩阵Ss基于整数进行采样，即有：

用离散网格Z2上的点k∈Z2来取代连续平移变量 t ∈ℜ2，然后根据连续剪切波的定义可以推出离散剪切波系统，即：

2 快速有限离散剪切波变换

有限离散剪切波变换与离散剪切波变换相比，是一种完全不连续的设置。也就是说，不仅将所涉及的参数a、s和t离散化，而且只考虑有限数量的离散化参数t。此外，将矩形网络上的平移参数t离散化，并独立于膨胀参数a和剪切参数s。

令j0=[1/2log2max(M,N)]作为尺度数量，为了得到一个离散的剪切变换，将a、s、t分别离散化：

通过式（12），剪切波变换可以写为：

由式（13）可观察到，与式（3）相比，式（13）省略了因子在傅里叶变换中可得到：

其中

通过应用FFT2和IFFT2，可以有效地实现快速有限离散剪切变换。它的频率平铺图如图3所示。

图3 带有各自指数i的频率平铺

3 阈值函数去噪

对于一个含噪图像y(n)，其模型可以表示为：

其中，x(n)表示原始图像，e(n)表示噪声信号，图像去噪实质上是从含噪图像y(n)中提取出一个相对比较接近原始干净图像的 )(～ny ，使得在某种误差估计下 )(～ny 是原始干净图像y(n)的最优逼近。

通过基于小波变换阈值[13-14]图像去噪算法可以发现，阈值函数在图像去噪中具有非常重要的作用。剪切波变换（Shearlet Transform）是小波变换在高维的升级，同小波变换相同，经过快速有限离散剪切波变换后，随着含噪图像信号分解尺度越来越大，噪声信号会随着分解聚集分布在相对较小的剪切波系数中，而原始干净的图像信号会分布在较大的剪切波系数中，由此可知噪声信号的系数会小于原始干净的图像信号系数[15]。

由上述可知，要去除噪声信号的系数，关键在于要设定一个相对合适的噪声阈值，然后对小于阈值的噪声信号系数进行降噪抑制处理，对大于阈值的原始图像信号系数进行保留，从而在一定程度上减少含有噪声信号的系数。最后，重构处理后的系数，得到去噪后的图像信号。

下面是快速有限离散剪切波变换阈值去噪的基本过程：

（1）对于含噪图像，选择一个合适的基函数和需要分解的层数，对含噪图像进行快速有限离散剪切波分解，得到分解后的每一层系数；

（2）针对每层分解后所得到的剪切波高频系数，选择一个合适的阈值函数对其进行处理，得到每一层处理后的系数；

（3）再对每层处理后的高频系数和相应层的低频剪切波系数进行重构，可以得到去噪后相对干净的图像信号。

根据上述快速有限离散剪切波阈值函数去噪过程的分析可以发现，图像去噪的效果与阈值函数、每层所设定的噪声阈值以及重构精度密切相关。传统的阈值函数大体上有软阈值函数和硬阈值函数两种方法。

硬阈值函数的表达式为：

软阈值函数的表达式为：

其中，d( j,k)为含噪的图像信号分解后得到的系数，D( j,k)为经阈值函数处理后的系数，λ为阈值。

4 仿真实验及结果分析

为了验证有限离散剪切波变换在图像去噪中相对于小波变换的优势，首先对原始的无噪声图像barbara从水平和垂直两个方向进行5层分解，如 图4、图5所示。

然后，在原始图像上加入σ=30的高斯白噪声，用剪切波和小波分别对其进行5级分解，剪切滤波器选择“‘Symmlet’，4”，抛物线矢量s(i)={3,3,3,4,4}，两种变换都采用相同的硬阈值函数和阈值，对比的实验结果如图6～图9所示。

图4 barbara图像的水平方向的5层分解（基于快速有限shearlet）

图5 barbara图像的垂直方向的5层分解（基于快速有限shearlet）

图6 原始图像与含噪图像

图7 原始图像与快速有限shearlet去噪后的图像

图8 原始图像与小波变换去噪后的图像

图9 两种变换去噪后图像的参数对比

将小波变换与快速有限剪切波变换的图像去噪进行比较，从冗余、峰值信噪比以及去噪耗费的时间三个方面进行比较，如表1所示。可以看出，快速有限剪切波去噪算法的冗余远小于小波去噪算法，说明有限剪切波变换系数相对于小波变换系数，信息冗余量低，系数稀疏度较高；快速有限剪切波去噪算法的PSNR（峰值信噪比）高于小波去噪算法，说明根据此去噪算法处理后图像的失真较少，且耗费的时间小于小波变换的去噪算法。综上所述，快速有限剪切波变换从各个方面都优于小 波变换。

表1 Wavelet与快速有限Shearlet去噪效果对比

5 结 语

本文克服了现有技术中小波变换不能很好表达图像各向异性信息的缺点，利用快速有限剪切波变换良好的各向异性、多分辨率、多尺度特性以及较好的局部特性等特点，提出了一种基于快速有限剪切波变换的图像去噪算法。首先利用快速有限剪切波变换对含噪图像进行多尺度、多方向分解，由于含噪图像的噪声大部分都集中在高频上，因此利用阈值去噪算法对分解后的高频噪声图像进行处理，然后将低频图像和处理过的高频图像作快速有限剪切波逆变换，就可以得到去噪后的图像。最后，将本文算法与传统的小波变换阈值去噪方法进行比较，验证了本文算法的优越性。