民用飞机商载航程图解析方程的建立及应用

陈名乾

中国商飞上海飞机设计研究院，上海 201210

民用飞机的商载航程性能是客户在考察评估机型、规划机队以及运营机型时最为关注的性能之一[1]。商载航程性能与目标市场客户使用需求的符合程度直接关系到机型的市场表现[2]。传统的飞机设计指标往往只对标准商载下的航程能力有所要求，但在飞机运营中，实际航线的商载和航程可能是商载航程图内的任意点。在设计指标制定时，需要对飞机整体的商载航程能力在目标市场范围内进行评估，才能确保指标制定的合理性[3]。但是在方案初期，对商载航程性能进行仿真计算求解较为困难，目前多采用工程估算方法[4-5]，求解准确度有限，因此在工程中商载航程图也仅作为方案后期性能评估时的项目给出，在指标制定中的参与程度有限，这也制约了指标制定时对目标市场需求的性能匹配程度检查的全面性。因此需要一种能将设计指标和飞机商载航程能力迅速建立对应关系的有效方法，形成方案初期的商载航程能力设计。

由于飞机飞行性能的计算方法较为成熟，对于往往作为性能计算结果的商载航程图的相关研究较少。蒙文巩等[6]从经济学的角度对客机系列化的商载航程性能进行了优化匹配，Shannon[7]对总体参数对商载航程图的影响进行了分析，表明飞机的起飞重量、使用空机重量(OEW)、最大燃油重量(MFW)等重量参数变化时，商载航程图都会做出具有特征性的变化，但是目前对商载航程图边界线与飞机总体参数之间的具体关系还缺少更为深入的研究。

1 商载航程图的边界线与求解

1.1 商载航程图边界线的定义

典型民用飞机的商载航程图如图1所示，商载航程图的边界线主要由最大零油重量(MZFW)限制线、最大起飞重量(MTOW)限制线和最大燃油重量限制线组成。在MZFW限制线上从左往右，飞机在最大商载下起飞重量逐渐增大至最大起飞重量，航程达到最大商载下的最大航程；在MTOW限制线上从左往右，飞机保持最大起飞重量不变，商载逐渐降低替换为燃油的增加，航程逐渐增大直至燃油量达到飞机的MFW；在MFW限制线上从左往右，飞机保持满油状态，商载和起飞重量逐渐降低，直至商载为零，此时对应的航程为飞机可能达到的最大航程。部分飞机的商载航程图还有受最大着陆重量(MLW)限制的边界线[8]，但该情况主要由设计的最大着陆重量不足造成，并非常规飞机的设计状态，本文不做考虑。

图1 典型民用飞机商载航程图Fig.1 Typical payload-range diagram of a commercial aircraft

另外，由于飞机运行时的商载在设计商载附近的比例较高，若设计商载对应点位于MFW限制线，则较多数情况飞机无法使用MTOW起飞，造成设计冗余，因此民用飞机的标准商载和设计航程对应点往往位于MTOW限制线上。

1.2 商载航程图的求解

工程上一般采用计算几条限制线交点处的商载对应的航程后再使用线段连接绘制商载航程图。对航程的计算，在方案初期，往往采用Breguet航程公式衍生的方法估算[9]；在方案后期，具备详细的发动机和气动力数据后采用高精度迭代的方法对整个飞行剖面进行求解获得航程[10]。前者属于工程估算方法，对航程的计算准确度有限并且需要不同工况飞行的升阻比和单位耗油率(SFC)作为输入，对二者预估的准确程度较为依赖。后者属于仿真计算方法，要求的输入数据量大，在方案初期不易使用。因此在方案初期很难对飞机整体的商载航程能力有准确的预估，飞机的商载航程指标也往往仅限定在单一标准商载点的航程，无法将整个商载航程图作为设计指标提出。本文提出一种新的商载航程图求解方法，通过建立飞机总体参数与商载航程图边界线的关系，当方案阶段确定飞机的标准商载和设计航程后，即可根据飞机的特征重量将整个商载航程图扩充，并且具备较好的准确度。

2 商载航程图边界线的解析表达

飞机的巡航性能可由燃油里程反映[11]，燃油里程FM可表示为

(1)

式中：TAS为真空速，km/h；FF为燃油流量，kg/h。燃油流量FF可表示为推力与SFC的乘积，认为巡航时推力等于阻力，则有

(2)

式中：m为飞机重量。

将式(2)代入式(1)有

(3)

考虑给定的任务剖面，巡航高度和巡航速度已知，则式(3)中TAS为定值，巡航段的距离DCRZ可表示为燃油里程FM关于飞机重量的积分：

(4)

式中：K为升阻比；WCS和WCE分别为巡航段起始与结束时的重量。

对于民用飞机，在相同高度速度下，燃油里程随飞行重量的变化呈近似线性关系。例如对某型客机，在标准大气，Ma=0.85下，不同重量、不同飞行高度层(FL)对应的燃油里程如图2所示,FL 350即为35 000 ft，1 ft=0.304 8 m。

图2 某型客机的燃油里程随重量的变化Fig.2 Variation of fuel mileage change with aircraft weight for a jetliner

(5)

(6)

忽略下降段和进场着陆段的耗油，则WCE等于使用空机重量WOEW、商载WPLD、备用油重量WRES之和，即

WCE=WOEW+WPLD+WRES

(7)

巡航段起始重量WCS为起飞重量WTOW减去起飞与爬升段的用油WCLB，即

WCS=WTOW-WCLB

(8)

设爬升下降段的距离之和为DC&D，则航程D可表示为

(9)

整理后可得商载航程图右边界线的解析方程为

WTOW-WCLB-WOEW-WRES

(10)

EC=

(11)

对于商载航程图的MFW限制线，燃油重量WF保持不变，WF=WMFW=WTOW-WOEW-WPLD，将其代入式(10)可得MFW限制线的解析方程为

(12)

以上获得了商载航程图MTOW限制线和MFW限制线的解析表达式分别为式(10)和式(12)， 建立了效率因子EC和飞机特征重量参数与商载航程图边界线的关系。

3 飞机总体参数与商载航程图的关系

通过式(10)和式(12)可得出当飞机总体参数变化时，商载航程图相应的变化规律。

3.1 最大起飞重量的影响

MTOW并不出现在MFW限制线的解析方程式(12)中，而在MTOW限制线上，起飞重量始终等于MTOW，即WTOW=WMTOW，对式(10)求导可得

(13)

在其中忽略DC&D和WCLB，可得

(14)

从式(14)可知，商载航程图的MTOW限制线并非线性，随着航程D的增大，限制线的斜率值变小。当MTOW增大，相同航程下的MTOW限制线斜率值增大，同时式(10)的截距WTOW-WCLB-WOEW-WRES也会增大，商载航程图的MTOW限制线会上移。图3给出了MTOW变化时的商载航程图变化情况。可见MTOW的影响主要体现在MTOW限制线的移动上，对其斜率的影响较小，同时由于MTOW并不影响MFW限制线，当飞机的MTOW增大，MTOW限制线的长度缩短。

3.2 使用空机重量的影响

图3 最大起飞重量对商载航程图的影响Fig.3 Effect of MTOW on payload-range diagram

图4 使用空机重量对商载航程图的影响Fig.4 Effect of OEW on payload-range diagram

3.3 最大燃油重量的影响

MFW并不出现在MTOW限制线的解析方程式(10)中。在MFW限制线上，对式(12)求导，忽略DC&D并且不考虑相对小量WCLB和WRES与航程关系，可得

(15)

可知当MFW增大，MFW限制线的斜率值增大。

图5 最大燃油重量对商载航程图的影响Fig.5 Effect of MFW on payload-range diagram

3.4 单位耗油率和升阻比的影响

单位耗油率(SFC)和升阻比对商载航程图的影响体现对效率因子的影响上，升阻比越大，SFC越小，效率因子越小，巡航效率越高。在MTOW限制线上，斜率为式(14)，在效率因子的数量级范围内，效率因子越小，则MTOW限制线的斜率值越小。在MFW限制线上，斜率为式(15)，效率因子与斜率值大小成反比。效率因子对商载航程图的影响效果见图6。

图6 效率因子对商载航程图的影响Fig.6 Effect of cruise efficiency factor on payload-range diagram

4 商载航程图解析表达式的应用

通过式(10)和式(12)，若已知效率因子EC和特征重量则可以直接求解商载航程图。但是EC一般很难直接给出，因此更为有效的方法是在方案阶段确定飞机标准商载、设计航程和特征重量后，即可根据式(11)反算出EC，再使用式(10)和式(12)获得整个商载航程图。

4.1 解析表达式的应用方程

若要直接应用式(10)～式(12)，还需明确若干变量WCLB、WRES和DC&D的数值。这些变量在重量和距离中的占比均较小，并且直接求解较为复杂，因此采用拟合式的方式估算WCLB和WRES，DC&D直接采用固定值。

爬升用油WCLB与起飞重量关系较大，且呈近似线性关系，可假设：

WCLB=k1WTOW+d1

(16)

备用油重量WRES与航程关系较大，也可近似为线性关系，可假设：

WRES=k2D+d2

(17)

将式(16)和式(17)代入式(10)和式(12)中，令D′=D-DC&D，可得MTOW限制线的应用方程为

(1-k1)WTOW-d1-WOEW-k2D-d2

(18)

MFW限制线的应用方程为

(19)

其中：

根据相关机型的统计值，可按表1选取各项参数的数值，对窄体客机和宽体客机有不同的推荐数值。

以上备用油重量WRES的相关参数基于10%航路备份油、200 nm备降和目的地机场上空1 500 ft(457 m)等待30 min的国际航线常用备用油规则给出[12]。这一备用油规则也是制定商载航程图时最常用的。

表1 各项参数的推荐数值Table 1 Recommended values of the remaining factors

4.2 从标准商载点扩充商载航程图

对式(18)和式(19)计算商载航程图的准确性进行验证。选用以下几个机型，获取标准商载(SPL)及其对应的航程(DR)、最大起飞重量、最大商载(MPL)、使用空机重量和最大燃油重量后，通过式(11)计算得到效率因子，扩充出飞机的商载航程图，并与官方手册中的商载航程图进行对比，其中数据来源于波音的飞机特性与机场计划手册(ACAP)[13-14]和空客的飞机特性手册(AC)[15-16]。输入参数列在表2中，计算得到的效率因子列在表3中，商载航程图对比见图7。

表2 各机型的基本输入参数Table 2 Basic input parameters of each aircraft

表3 通过标准商载点计算的巡航效率因子Table 3 Cruise efficiency factors calculated from SPL point

图7 扩充得到的SPL商载航程图与飞机ACAP手册中商载航程图的对比Fig.7 Comparison between payload-range diagram expanded from SPL point and extracted from ACAP manual

可见，通过标准商载点反算出效率因子后，采用式(18)和式(19)扩充出的商载航程图对窄体客机和宽体客机都具有较好的准确度，右边界线各拐点的航程误差在2%以内。对航程较远的机型，该方法的准确度会更高。

5 本文方法在飞机方案设计中的应用

经过以上推导、分析和验证，本文建立了一种通过极少量的输入参数即可求解出飞机商载航程图的方法，在方案初期就能对飞机整体的商载航程能力进行快速计算、评估，优化航程指标。

在方案设计中，尤其在设计航程指标还未确定时，飞机整体的商载航程能力较为模糊。在飞机的运营使用中，商载和执飞航线的航程实际表现为以商载航程图为包线的离散点，飞机的商载航程图整体能否比竞争机型更满足客户需求或者更适合目标市场并不能单从设计航程指标反映。

在指标制定过程中，当选定某一设计航程时，通过方案设计估算方法确定最大起飞重量和使用空机重量后，只需输入标准商载、设计航程、最大起飞重量、使用空机重量、最大商载和最大燃油重量，即可使用本文方法快速求解出商载航程图。将商载航程图与竞争机型在目标市场的实际运营数据进行对比，通过数据分析手段可以评估飞机的商载航程能力对竞争机型及目标市场区域的覆盖情况，如图8所示，其中运营数据点来自2015年的美国BTS T100数据，每点代表月平均值，仅供示例。根据飞机的设计定位和市场需求，调整商载航程图边界线的位置。图8示意的调整最大商载和最大燃油重量限制线，用以检验飞机的最大商载、最大商载航程和最大燃油重量是否满足客户需求，根据本文建立的飞机总体参数与商载航程图的关系，即可通过解析式得出优化后的最大商载航程和最大燃油重量。本文方法还可用于最大起飞重量、使用空机重量、SFC和升阻比的敏感性分析。采用本文方法，可实现基于目标市场需求的飞机商载航程能力设计和指标制定，有助于设计方案以市场需求为导向的快速迭代和设计指标的合理优化。

图8 基于市场运营点优化商载航程能力设计示例Fig.8 Optimization of payload-range capability using market operation points

6 结 论

1) 推导了商载航程图边界线的解析方程，建立了飞机总体参数与商载航程图的数学关系。

2) MTOW不影响商载航程图MFW限制线，仅影响MTOW限制线；OEW不影响商载航程图MTOW限制线和MFW限制线的斜率值，OEW变化只造成2条限制线的平移；MFW不影响MTOW限制线，只改变MFW限制线的位置和斜率。

3) 升阻比和SFC通过巡航效率因子影响商载航程图，升阻比越大，SFC越小，巡航效率因子越小，相同重量条件下的商载航程图MTOW限制线斜率值越小。

4) 建立了商载航程图解析表达式的应用方程，提出一种应用于飞机方案阶段初期，通过少量总体参数即可从标准商载点出发求解飞机商载航程图的方法，并经验证求解结果准确度较好。

5) 本文方法可应用于飞机方案阶段MTOW、OEW、MFW等特征重量指标和航程指标的评估和制定，并在方案早期实现飞机商载航程能力的设计。