关于模糊粗糙集的广义扩张原理的注记∗

夏秀云 常安成 刘一龙 田 浩

（1.湖南信息学院公共课部 长沙 410005）（2.湖南信息学院电信学院 长沙 410005）

1 引言

Fuzzy集的概念是由美国计算机与控制论专家L.A.Zadeh提出的［1～5］，主要是研究有关模糊问题以及不确定性问题的理论方法，该理论主要强调集合边界的不分明性。而粗糙集理论是由波兰数学家Z.Pawlak于1982年提出的，它的概念主要是指人们通过分类去认识那些不能用分类精确表示的对象集［6］。模糊集和粗糙集在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性，因此把他们结合起来研究，得到了模糊粗糙集［7］。模糊粗糙集模型的应用非常广泛，近年来学者们进行了多方面研究。比如：赵涛等［12］学者利用包含度的定义，讨论了区间二型模糊粗糙集；薛占熬等［13］学者研究了基于优势关系的程度粗糙直觉模糊集模型；陈俞等［14］学者从随机抽样出发，研究了模糊粗糙集的约简；随后，易涛等［15］学者基于模糊粗糙集测度研究了分层建模及应急演练控制应用；接着，徐飞等［16］学者从模糊矩阵的角度出发，探讨了模糊理论的三个基本原理之一的表现原理。陈钉均等［17］学者通过函数思想讨论了模糊粗糙集的扩张原理，然后推广到复合映射的扩张原理。基于以上研究基础，本文借助模糊二元关系进行建立模糊粗糙集的广义扩张原理，研究其相关性质和定理，为进一步的研究起到铺垫作用。

2 预备知识

定义1［8］给定知识库 K=(U'H)，其中U 为论域，H是U上的等价关系，则对于任意X⊆U，记：

称-H X为X的下近似，HˉX为X的上近似。

定义 2［9～10］ 设 K=(U'S)是近似空间，其中 U为论域，S为U上的等价关系簇，A为U上的一个模糊集合，则对于∀x∈U和论域U上的一个等价关系H∈ind(K)，记定义A关于H的上、下近似分别为Hˉ(A)'-H(A)，它们均为论域U上的模糊子集，其隶属函数分别对应为

下近似的隶属函数：

上近似的隶属函数：

其中，[x]H为x在H下的等价类。

定义 3［10～11］ 设映射 f:X→Y ，则由得到相对应映射，分别记为 f与 f-1：

若 f-1(y)=Ø，约定˅Ø=0。从而 f(A)为Y上的F模糊集，且称

称 Aα为Fuzzy集A的α-截集，或者称为A的α-水平集，而称

为 A的强α-截集，或称为 A的强α-水平集或者α-开截集；α称为阈值或者置信水平。

3 主要成果

定义5（广义扩张定理）设R∈F(X×Y)是一个二元模糊关系，由R导出R-1：FR(X)→FR(Y)及R-1：FR(Y)→FR(X)'定义如下：对于任意A∈FR'B∈FR，则

设 f:X→Y是一映射，如下定义的二元关系Rf∈X×Y称为由 f确定的二元模糊关系，其中Rf(x'y)=1，y=f(x)；Rf(x'y)=0，y≠f(x)。

同理，由 f:X→Y可定义 f-1:FR(Y)→FR(X)，而B∈FR，则对于∀x∈X，有

注：FR(X)表示X上的全体模糊粗糙函数的集合。

定理1 设 f:X→Y是一映射，R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)，则

证明：只证1）和4）。2）和3）类似可证。

1）对于任意 y∈Y，

该定理说明了基于模糊粗糙集的广义扩张原理是模糊粗糙集的扩张原理的一种推广形式。

定理 2 设 R∈F(X×Y)，Ai∈FR(X)(i∈I)'Bj∈ FR(Y)(j∈ J)，则

定理4设R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且对于任意 y∈Y，存在x∈X使R(x'y)=1，则

定理5 设R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且对于任意x∈X，存在 y∈Y使R(x'y)=1，则

2）与1）同理可证。

3）对 于 任 意 x∈X ，设 y0∈Y 使 得R(x'y0)=1，则

2）类似1），略。

3）对于任意 y∈Y，

4）类似3），略。

类似于定理6，给出推论1。

推论1 设R∈F(X×Y)，B∈FR(Y)，则

4 结语

扩张原理是模糊理论的三个基本原理之一，其在模糊数学和经典数学的联系上起到了重要作用。基于此，本文是对经典扩张原理的再探索，提出模糊粗糙集的广义扩张原理，研究其相关性质和定理，为进一步的研究起到铺垫作用。