例谈求参数范围问题中边界值的取否

张辉

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2019）03-0147-01

高中数学的问题中，有一类题目我们认真做完以后感觉肯定是对的，但结果往往与正确答案差之毫厘，那就是求参数的取值范围问题，这种问题涵盖了高中数学的主干知识，涉及函数、不等式等重点和难点知识，正因如此，我们都很重视，但在实际的做题过程中，我们往往会得到一个和结果差不多的答案，最大的差别就是和正确答案在边界值的是否可取上，其实这是最可惜的，为什么信心满满的我们会做出一个与正确答案差之毫厘的结果，那么这种问题是如何产生的？我们怎样做才能避免这种错误呢？下面，我想结合具体的实例来加以明确的分析。

例一：已知点P在曲线y=x3-3x+1上的任意一点，点P处的倾斜角为α，则α的取值范围是.答案：[0，π2）∪[2π3，π）.

这道题在实际解题过程中，同学们出现的错误答案有好多种，错误率较多的如：（0，π2）∪[2π3，π），（0，π2）∪[2π3，π]，（0，π2]∪[2π3，π]等，比較一下正确答案和同学们的错误答案，很明显发现都是因为边界值的取否，那么仔细分析了一下造成这种错误的原因，很明显能够得到这个错误答案就根本不是该题目是否会做的问题，而是对于基础知识，基本概念掌握不牢所导致的，同学们对于直线倾斜角的范围是[0，π）这个知识点掌握不牢产生了错误，因此，要想避免这种错误就必须要扎实掌握基础知识.

例二：已知函数f（x）=1mx2+mx+1的定义域为R，则m的取值范围是.答案：[0，4）.

本题主要错误答案有：（0，4）（错误率最高），[0，4].

本题同学们出现这种边界值错误的原因主要是因为考虑问题不周到，根号里面mx2+mx+1，这个形式不一定是二次的，需要分情况讨论，而同学们往往先入为主，看到这种形式就直接当做二次来求解，从而导致错误，还有第二个问题就是在考虑V时，到底是V<0还是V≤0，往往同学们分辨不清，甚至还有同学认为是V>0，V≥0，出现此类错误主要是对这种问题的模糊认知，见大忘小.要想杜绝这种错误，那么在做题的时候一定要多留一个心眼，多考虑一下细节！

例三：对任意的x∈（-4，1），的不等式x2-4a（x-2）<0恒成立，求实数a的取值范围是.答案：a≤-23.

本题80%的错误答案都是a<-23，为何都不取等号，分析原因我觉得还是对于题目的理解不够深刻，由于是关于二次函数的恒成立问题，所以一般选择最值计算（其他函数首选参变分离），函数小于零恒成立，只要他的最大值小于零即可，这里开口向上，所以最大值在端点取，代入计算求不等式解集即可，从而得到a<-23这个错误答案，其实就整个题目的分析过程，很完美，那究竟错在哪个地方呢？其实代入的时候，就是对这种问题的理解不深，由于条件中x的两个边界值都取不到，因此函数在该区间上的最大值也是取不到的，所以代入计算时就是最大值小于等于零.

例四：已知函数f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的单调递减区间是[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.答案：（-∞，1].

变式：已知函数f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的单调递减区间是（2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.答案：（-∞，1].

这两个题目条件有些许的变化，但是对结果却没有任何影响，但许多同学的错误答案都是（-∞，1].究其错误的原因主要在问题转化时产生的偏差，这是由于我们对该问题和该知识的理解不到位所产生的.课本上利用导数求函数的单调区间步骤如下：求f（x）的导函数f′（x），令f′（x）>0，求出该不等式在定义域内的解集即是该函数的单调递增区间，这个知识点是函数的重点知识，也是高中函数的必备和必考知识，因此同学们就在反复的演练中根深蒂固于自己的脑海，因此在本题中，这种根深蒂固就变成了函数在[2，+∞）上递增，所以f′（x）>0对于任意的x∈[2，+∞）恒成立，从而得到上面错误的答案. 其实如果仔细思考，认真领悟，单调区间在边界点取与不取都是正确的，如前面三角函数的单调区间都是写成闭区间，所以对于求单调区间而言，边界值取与不取只需看定义域；反过来，针对本题，已知函数的在某个区间上单调递增，应该转化为该函数的导函数在该区间上大于等于零恒成立，因此我们做这些题目时不能想当然的一知半解，必须在平时的学习中充分体会和领悟知识的内涵和知识点之间的关系，才能突破这些难点，达到会且对的效果.

当然，在实际的做题过程中，我们还会犯诸如看错题目：把“≥”看成“>”，造成边界值没有取得的错误；还有在誊抄答案时将“≥”抄错成“>”这样的尴尬错误，因此认真审题和细致答题这个做题的万能法宝我们时刻不能丢！

对于求参数的取值范围这样的问题，在实际解答的过程中，我们需要细心和专心，结合多个视角、多个侧面来深入思考、分析、作答，如函数本身的性质、题目的特定要求以及隐含的种种要素，如果真的不好判断的话有些问题我们还可以直接将边界值代入进行验证是否满足. 这样，碰到关于这一类题型的问题我们就可以做到不留遗憾，百战百胜！