压缩态光场在激光干涉仪引力波探测器中的应用

王运永 韩森 钱进 张齐元 殷聪 王建波

摘要：激光干涉仪在引力波发现中起着关键作用，标准量子极限是干涉仪灵敏度进一步提高的主要障碍，压缩态光场注入是超越标准量子极限的重要手段。分析了压缩态光场的主要特点，讨论了压缩态光场的产生机制，介绍了压缩态光场技术在超越标准量子极限中的应用。

关键词：引力波;激光干涉仪;标准量子极限;压缩态光场技术

中图分类号：TH744.3 文献标志码：A

引言

引力波是爱因斯坦广义相对论的重要预言，引力波探测是当代物理学最重要的前沿领域之一。随着引力波天文学的蓬勃发展，要求激光干涉仪引力波探测器的灵敏度不断提高，而压缩态光场注入技术可提高激光干涉仪引力波探测器的灵敏度，使其突破标准量子极限。因此，本文对压缩态光场特点、产生机制及应用进行探讨。

1压缩态光场

1.1相干态

光场压缩态与光场的相干态密不可分，为了深入了解光场压缩态的特性及获取方法，我们有必要对光场相干态进行概括的介绍。

我们知道，量子力学中物理量是用波函数描述的，不在它本征态下的测量具有不确定性，设p和g是广义坐标和广义动量，根据海森堡测不准原理，有：△p△q≥h/2，而在经典力学中，对任何物理量的测量都是唯一的，即h=0。当式△p△q≥h/2取等号时，即当△p△q=h/2时，我们认为这种量子态是最接近经典的态。相干态和压缩态就是这种最接近经典的态。实验和理论均可证明，一台理想的激光器所产生的激光就是相干态光场，它既是一个量子态又最接近经典物理的情况。

在传统的经典光学中，人们以光是否具有产生干涉的能力作为相干光的判据。经典光场的干涉反映不同时空点光场的相位关联程度，其相位关联的相干性用一阶相关函数来描述，利用相关函数可以定义相干度，经典光学中所说的相干光是一阶相干光。它是一阶相干度的绝对值等于1的光场。这种相干性实质上是对光场相位差的起伏加以严格限制，使光场相位差随机起伏造成的噪声受到限制，但是不能把光场起伏造成的全部噪声加以限制。同样我们可以引入二阶相关函数，当一阶相干度的绝对值为1，光场的二阶相干度也等于1时，这样的光场称为二阶相干光，二阶相干光场对场量的随机涨落多了一个限制条件，因而比一阶相干光有更小的噪声。从理论上讲，我们可以引进多阶的相关函数簇来描述光场的随机性，对经典电磁场理论来说，当所有各阶的相干度的绝对值都等于1时，光场所有场量的起伏都受到了限制，这种光场是严格意义上的完全相干光。这就是说，经典理论中的完全相干光应该是场量不存在任何起伏的无噪声光场。

在量子光学中，同样可以引进相关函数簇来描述光场的随机性，完全相干光的定义与经典理论相似，只不过场量用算符表示，相关函数的形式也有所不同。在光的量子理论中，相干态光场是严格意义上的完全相干光。但是与经典理论的相干性不同，相干态光场不是无噪声的光场，它的场量具有来自真空起伏的量子涨落。相干态是符合最小测不准关系的量子态。

1.2电磁场的正交相位算符和正交振幅算符

在量子光学中，光子的湮灭和产生算符a和a+为非厄米算符，其本征值是复数。我们知道，量子力学中的力学量是用算符来表示的，实验上可观测的物理量是实数，而在任何状态下，厄米算符的本征值为实数，因此，实验上可观测的物理量要用厄米算符来表示。为了描述可观测的物理量，我们需要用a和a+这两个非厄米算符定义两个新的厄米算符x1和x2：

由以上讨论可以知道，在量子光学中，相干态同样是电场和磁场最小测不准态，两者起伏相同。相干态的粒子数起伏实质上是真空起伏，在利用位移算符将真空态演化成相干态的过程中光场的量子起伏保持不变。

1.3压缩态

压缩态与粒子数态一样，是具有纯量子性的光场态，没有经典对应。在量子光学中，真空态，相干态和压缩态都是最小不确定态，满足海森堡不等式的下限，这一点和热辐射态不同。真空态和相干态各向不确定性都相等，即：

利用正交图我们可以知道，虽然量子力学中的海森堡测不准原理限定了“云”的最小面积，但是我们有权改变它的形状。如图2右图显示的那样，当正交相位的不确定性△x2被压缩减小的同时，正交振幅的不确定性△x1被扩大了，此时表示不确定性的圆发生了形变，它由正圆变成了椭圆。这就是所谓的压缩椭圆。根据量子力学中海森堡测不准原理，压缩后圆的面积保持不变。

在图2中，左图为相干态的正交图，它说明，由于光的量子特性，激光束中的光子并不是全部都具有相同的振幅和相位，而是遵循一定的几率分布，这个分布用图中的“云“表示，云的最小面积由测不准原理限定。右图为压缩态的正交图，它说明，正交相位的不确定性△x2被压缩而减小但正交振幅的不确定性△x1被扩大，云的形状由正圆变成椭圆，但面积不变。

2.2常规的非压缩态光场量子噪声应变谱密度的图像表示

我们首先讨论传统的常规光场的量子噪声应变谱密度的图像表示，所谓传统光场，指的是干涉仪中通常使用的常规光场，它是非压缩态光场。传统光场的量子噪声可以分为有光一机耦合和没有光一机耦合两种情况，它们的应变谱密度的图像表示是不同的。

量子噪声的应变谱密度可以简单地理解为“噪聲信号比”，它是大家熟知的信号/噪声比（sNR）的倒数。在这里，噪声指的是干涉仪中光量子涨落的幅度，而信号指的是引力波导致的光相位的变化。在激光干涉仪引力波探测器中，这种相位的变化显示了两臂长度差的变化。长度差是用干涉仪的信号增益标定的，干涉仪的信号增益是探测频率的函数。当信号幅度是常数时，量子噪声越低，被光量子噪声限定的干涉仪的应变谱密度越低，即仪器的灵敏度越高。或者说，在量子噪声水平不变的情况下，信号幅度越高，被光量子噪声限定的干涉仪的应变谱密度越低，仪器的灵敏度越高。

应该指出，如果干涉仪受到局部干扰而使镜子的位置发生移动，也会产生两臂长度差的变化，从而导致光相位的变化，这种效应与引力波的作用是一样的，也会在正交相位上显现出来。这种干扰噪声要用其他方法排除。

图3给出了传统的常规光场中被光量子噪声限定的干涉仪的应变灵敏度的图像。

在图3中我们用虚线圆表示进入干涉仪系统内的光子态的不确定性的轮廓。用两个箭头E2和E1分别表示互相垂直的两个正交量（正交相位与正交振幅）的涨落导致的光量子噪声。图3（b）给出了在没有光一机耦合的情况下，输入光场量子噪声的图像，可以看到，对相干态来说，两个正交量中的噪声E2和E1是完全没有相互关联的。

当引力波使干涉仪的臂长发生改变，会产生一个引力波信号（由于局部噪声干扰使干涉仪的镜子位置发生移动时，也会产生与引力波相同的效应），这个信号在图中用小箭头EGw表示，它出现在正交相位中。图3（c）给出了在没有光_机耦合时干涉仪输出光场的图像。

为了测量引力波信号，我们需要确定一个读出角（也称为正交角），在图3（c）所示的简单情况下，我们精确地读出正交相位就能得到最好的信号噪声比。因为在这种情况下，噪声幅度对所有可能的读出角都一样大，但信号在正交相位方向（即在垂直方向）最大。根据这个原因，如果不另做明确的说明，我们总是选择与正交相位严格相符合的方向进行读出。需要指出，图3（c）显示的是没有光一机耦合时的干涉仪的输出光场图像，这种情况仅在高频区域或激光功率与镜子质量之比非常低的情况下才是正确的。因为只有在这种情况下，光一机耦合才可以忽略不计。

当光一机耦合占主导地位时，事情就要发生巨大的变化。从图3（a）中可以看到，输入光场的相位涨落和振幅涨落产生的量子噪声都作用在被悬挂起来的镜子上（图3（a）），输入光场相位涨落在测试质量上不引起机械效应，但是它的振幅涨落通过辐射压力耦合到测试质量上，导致测试质量位置的涨落，与引力波信号产生的作用相似，这种位置涨落作为一个附加成份也出现在正交相位上，如图3（d）中的ERP所示。可以看出，通过光一机耦合从正交振幅耦合到正交相位的涨落使两个正交量中的噪声成分有了关联。图3（d）给出了在光一机耦合占主导地位的情况下干涉仪输出光场的图像。

需要指出，正交相位中的原初涨落E2与来自正交振幅涨落但通过光一机耦合而耦合到正交相位中的附加涨落ERP是有本质上的区别的，前者来自光的量子特性，后者是正交相位和正交振幅的相互关联引起的（因此又称为正交相位与正交振幅的关联涨落），这种被引入的相互关联涨落可以用来突破标准量子极限sQL。

在正交相位中由关联涨落引入的辐射压力涨落的幅度，即ERP的长度，直接由光场的功率来标定，而且与镜子的质量及探测频率的平方成反比。

2.3压缩态光场量子噪声的图像表示

虽然海森堡测不准原理控制了正交图像中圆的最小面积，我们仍然可以自由地改变圆的形状，改变圆形状的方法就是所谓的“压缩光场技术”。如图2所表示的那样，如果光态的不确定性在一个正交参量（图中是正交相位）中被压缩而减小，那么必然以增加与之垂直的另一个正交参量（图中是正交振幅）中的不确定性为代价。这时表示光子态不确定性的圆变成了椭圆。压缩椭圆可以用三个参数来描述：

（1）压缩水平和反压缩水平，压缩水平指的是未压缩圆的直径与压缩椭圆短轴长度与之比，反压缩水平定义为未压缩圆的直径与压缩椭圆主轴长度之比。

（2）在正交平面内压缩圆的取向，也称为压缩角。

（3）压缩态光场的频率。

在过去十几年间，用于引力波探测器的压缩态光场的产生技术取得了长足的进步，压缩水平已超过12 dB，压缩频率可以降低到几个赫兹。

压缩态光场的量子噪声也可以用正交图像来表示，如图4所示。当我们想利用压缩态光改善干涉仪的灵敏度时，需要做两件事：

（1）在我们期待探测的频率产生足够强的压缩态光场。

（2）确定压缩椭圆的取向，即根据实验需要确定压缩角。

比如说，我们想在高频区域压低光量子噪声，提高引力波探测器的灵敏度，就需要注入相位压缩光，因为我们的读出角严格地与正教交相位方向一致，也就是要让压缩椭圆短轴的方向严格地平行于正交相位。图4（b）给出了注入的相位压缩光的图像，从图中可以看到，正交相位涨落的幅度E2因压缩而减小，但正交振幅的涨落E1却相应增大了。为了进行比较，我们在图4（a）中也给出了未压缩光场的图像。从图中可以看到，输入的非压缩光场中，正交相位的涨落E2和正交振幅的涨落E1是完全相等的。

当注入相位压缩光时，图4（b）中正交相位的涨落E2被压缩而变短，正交振幅的涨落E1却因此而变长。由于引力波信号的幅度保持为常数，因此在高频部分我们可以改善信号噪声比，从而提高干涉仪高频区域的灵敏度（如图4㈣中b2的右下图所示），但是如图4（b）中b2的左下图所示，在低频区域正交相位中的噪声却大幅度增加了，因为在对正交相位进行压缩时，由于正交振幅的反压缩效应，它的涨落增加了。这种涨落通过辐射压力耦合到正交相位（图4（b）中b2左下图中的ERP）使正交相位中的噪声大幅度增加。鉴于引力波信号EGW与压缩水平无关，由于低频区域的量子噪声随着相位压缩光的应用而增加，总体上虽然我们在高频区域提高了灵敏度，但在低频端我们还是损失了灵敏度。

如果我们想在低频区域提高干涉仪的灵敏度，就要注入振幅压缩光使E1的长度因压缩而变短，从而使耦合到正交相位中的辐射压力噪聲ERP减小。虽然低频灵敏度得到了改善，但是，这种改善是以牺牲高频区域的灵敏度为代价的。因为在对正交振幅进行压缩时，由于正交相位的反压缩效应，E2要比未压缩时变长一些，而我们的读出是选择在正交相位严格相符合的方向。

通过以上讨论我们可以看到，注入纯粹的相位压缩光或纯粹的振幅压缩光我们仅能在探测频带的特定区域改善干涉仪的灵敏度。从定性的观点来看，在理想的情况下（即压缩水平严格地等于反压缩水平），利用这种压缩光技术得到的灵敏度变化与利用增加或减少干涉仪内激光功率得到的变化是完全相同的。因此我们得出一个重要结论：利用纯粹的相位压缩光或振幅压缩光，不能使激光干涉仪引力波探测器的灵敏度在整个探测频带内突破标准量子极限sQL。但是，不容置疑，可以在特定频段其灵敏度超越标准量子极限sQL。

3超越标准量子极限

3.1读出角选择

通过合理的方式注入压缩态光场，可以使激光干涉仪引力波探测器的灵敏度超越標准量子极限sQL。

通常认为，精确地在正交相位中读出干涉仪信号是理所当然的，因为利用这种读出方法我们能得到最大的引力波信号。但是，利用不同的读出角，我们也可以在干涉仪灵敏度的提高方面获得益处。所谓不同的读出角指的是读出方向取正交相位和正交振幅的重叠，而不是严格地读出正交相位。

下面我们以输入传统的非压缩光场为例，用图解的方法来说明读出角选择与灵敏度提高的关系。从技术观点来看，利用图5（a）给出的读出方案，通过改变并选择合适的读出角，我们能够在特定频率上消除辐射压力噪声，从而在一个比较窄的频带内得到“亚标准量子极限”级的灵敏度。图中所示的读出方法，我们称为“零差读出”，又称“同步检波读出”。

我们知道，在激光干涉仪引力波探测器的输出端，我们需要从已调制信号中把引力波信号抽取出来。这个过程被称为“检波”。它是用一个与载波同频同相的本振信号与已调制信号相乘来实现信号解调的。

零差检波是在干涉仪主体部分之前的某个部位提取一些光并把它引导到输出口，用做局部震荡信号，这个与载波同频同相的本振信号与输出端的已调信号相乘，利用低通滤波器将低频信号提取出来。

在图5（a）所示的“零拍读出”中，我们依靠移动局部震荡光场相对于从主干涉仪出射的光场的相位，可以在读出正交相位、读出正交振幅或读出它们之间的任意叠加方案中进行选择。移动局部震荡光场相位的方案很多，精密地微调局部震荡光的光程就是一种简单易行的方法。这种“零差读出”，可以帮助我们减小量子噪声，提高干涉仪的灵敏度。其工作原理可以用图5（b）来说明。

在图5（a）中，干涉仪的输出口保持在干涉相消状态，只有信号光能够朝着光探测器方向传播，并在光探测器上与在干涉仪主体部分之前的某个部位提取的光相“拍”。为了避免在读出线路中出现“开路”现象，零差探测器中使用了两个光二极管。调节相位移动器可以得到我们需要的读出角。通过选择合适的读出角可以把辐射压力噪声的影响“抵消”。工作原理如图5（b）所示，在图中，E1的长度表示正交振幅中的噪声，E2的长度表示正交相位中的噪声，ERP的长度表示通过光一机相互作用E1到E2的耦合。我们知道，ERP的长度与观测频率有关，E1的长度虽然与ERP的长度有关联但却是与观测频率无关的。这就是意味着对于任何一个观测频率，一定存在一个特殊的读出角，对于这个读出角度来说，两个相互关联的矢量E1和ERP在读出轴上的投影F1和ERP具有严格相等的长度。由于E1和ERP相互关联但指向相反的方向，因此他们会严格地相互抵消。这样以来，干涉仪的灵敏度就只由和EGw和E2的长度比来确定。在这种情况下，我们就在选定的观测频率上完全消除了辐射压力噪声的影响。

3.2频率变化压缩

前面的分析告诉我们，注入单纯的振幅压缩光或单纯的相位压缩光不可能在干涉仪的整个探测频带内压低光量子噪声，改善灵敏度。因此，利用这种压缩光态不能突破标准量子极限sQL。然而，如果以频率变化压缩（或称为频率制约压缩）的方式改变注入光的压缩角，我们就有可能在干涉仪的整个探测频带内减小量子噪声，从而能够以超越标准量子极限的灵敏度进行宽频带测量。

从以前的讨论中我们知道，激光干涉仪的灵敏度在高频区域受限于霰弹噪声，在低频区域主要受辐射压力噪声中的ERP的限制，ERP是振幅涨落通过辐射压力引起的镜子运动，耦合到正交相位中造成的额外噪声。因此，如果我们以探测频率的函数来转动压缩椭圆，使得整个探测频带内总能得到最理想的正交量的压缩，从而在探测器的整个探测频带内（而不是单一频率上）减小量子噪声，提高灵敏度。由于压缩角的转动是以频率的函数进行的，我们称这种的压缩为频变压缩，也称为频率制约压缩。其工作原理可以用图6来说明。

图6给出了频变压缩的正交图像（我们在这里用了“频变”一词是为了区别于电子学仪器中的“变频”电路）。如前所述，精确地读出正交相位我们能够得到最好的信号噪声比，因此在图6中，对所有的探测频率我们都读出正交相位。在高频区域，使用相位压缩技术来降低光量子噪声，降低的数值完全与注入纯粹的、频率无关的相位压缩时得到的结果相等。由于相位压缩光的注入减小了量子噪声，干涉仪的灵敏度在高频区域得到了提高。但是我们也知道，在低频区域灵敏度却降低了。由于这时感兴趣的探测频率在高频区域，在低频区域我们没有运作。对它不做任何考虑。

当探测频率朝着频带的低频端改变时，我们让压缩椭圆连续地从相位压缩向振幅压缩转动，转动过程中的关键在于要让正交振幅中原初E，矢量的长度减小，使得通过辐射压力导致的镜子运动耦合到正交相位中的噪声较小，即正交相位中附加的ERP的长度减小。其结果使低频区域的信号噪声比sNR大于未压缩时的情况。

图7给出了使用纯粹相位压缩以及频变压缩时简单干涉仪的量子噪声谱。图中曲线（1）为标准量子极限，曲线（2）表示没有使用压缩态时常规干涉仪的量子噪声谱，曲线（3）表示利用纯粹相位压缩时的量子噪声谱，曲线（4）表示利用频变压缩时的情况。底部的椭圆表示在探测频带的不同频率注入压缩光的压缩椭圆的最佳取向，它表明，频变压缩技术可以在较宽的频带内使量子噪声减小到标准量子极限之下。

压缩光场是量子光学中的一种非常重要的非经典光场，压缩态在光通信、微弱信号检测、高精度干涉测量等方面都有重要的应用。

4结束语

引力波的发现是一项划时代的科学成就，它标志着困扰科学家百年来的物理学难题得以破解，引力波天文学完成了从寻找引力波到研究天文学的历史性转折。以第三代激光干涉仪引力波探测器为基础的引力波天文台的建立，必将迎来引力波天文学蓬勃发展的新时代。当前世界各大实验室都投入大量人力物力对第三代激光干涉仪进行前期研究，灵敏度直指10^-24，由光的量子特性产生的标准量子极限是提高灵敏度必须克服的障碍。压缩光场技术的研发和应用为突破标准量子极限提供了强有力的技术支持。