电力系统经济负荷分配问题的智能算法优化研究

鲁楚翘，吴 勇

（1. 湖北省襄阳市第四中学高三（20）班，湖北 襄阳 441000；2.武汉理工大学 自动化学院，湖北 武汉430070）

0 引 言

经济负荷分配（Economic Load Dispatch，ELD）是电力系统的一种典型优化问题。它不仅涉及能源消耗，而且对环境污染与保护也具有重要意义。火力发电能源消耗是电力行业面临的巨大问题。如何优化各发电机组的出力，降低能源消耗，减少SO2和NOx等污染物的排放，国内外许多学者对此做了相关研究，并取得了丰富的研究成果。传统求解经济负荷分配问题算法有拉格朗日乘子法、线性规划法[1]和动态规划方法等。但是，由于经济负荷分配问题具有高维、非线性、不可导、存在大量局部极值点等特性，使得传统算法求解经济负荷分配问题容易陷入局部最优或收敛速度较慢而不能取得较好的优化效果。智能进化算法模拟自然选择、变异、遗传等操作，存在本质上的并行性，因此研究者更青睐应用智能进化算法解决经济负荷分配问题[2-5]。本文对差分进化算法进行研究，利用差分进化解决火电厂的经济负荷分配问题，求解13机组的经济负荷分配问题，并对其优化结果和收敛速度进行分析。仿真结果表明，差分进化算法能够快速有效地找到较满意的解，鲁棒性强，可以有效解决经济负荷分配问题。

1 经济负荷分配问题的数学模型

经济负荷分配问题是在满足电力负荷需求和电力系统安全的情况下，合理配置系统资源及各发电机的电力输出，优化系统总发电费用。从数学描述来看，可以归纳为一个非线性单目标多约束优化问题。

如果系统总发电费用为TC，系统内发电机总数为N，第i台发电机的有功功率为Pi，第i台发电机费用特性函数为Fi(Pi)，则经济负荷分配问题的目标函数可表述为：

其中，当考虑阀点效益的费用时，第i台发电机费用特性函数Fi(Pi)为：

式中 ai、bi、ci、ei、fi分别为第i台发电机的费用参数。

本文考虑经济负荷分配问题的两个最主要约束条件，即发电机组的运行功率限值约束和功率平衡约束。

发电机组的运行功率限值约束条件为：

式中，Pi为第i台发电机组的有功功率，分别为第i台发电机组有功功率的最小值和最大值。

发电机组的功率平衡约束条件为：

式中，PD为系统内的总负荷。

2 智能算法及差分演化算法

传统的数学优化方法在求解复杂问题时，往往需要在求解精度和求解时间、复杂度之间进行协调，而不能在多个方面达到最优。与传统的数学方法不同，智能算法通过模拟自然界某些群体智能行为来求解复杂的优化问题。智能算法中的群体由大量的个体组成，单个个体仅仅具有简单的智能行为，个体之间通过信息交互进行自然选择、变异和遗传等操作，因此群体体现出很强的自组织性和智能。由于个体之间竞争和选择，智能算法求解问题时存在本质上的并行性，因此具有很高的精度和收敛速度。智能算法主要有遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、蜂群算法和差分演化算法等，在不同的应用领域得到了成功应用。

差分进化（Differential Evolution，DE）算法是在1995年由Storn和Price提出的一种具有优秀全局搜索能力的优化算法[6]。DE算法主要包含突变操作、交叉操作和选择操作三个步骤，基本思想是利用当前种群的个体之间的差异进行扰动而产生新的中间种群，再通过重组和选择操作来产生新一代种群，通过多次迭代最终找到适应值最优的个体。

DE算法最大的特点在于突变操作，是DE算法中的主要进化过程。DE算法中比较常用的突变策略有 DE/best/1/bin、DE/rand-to-best/1/bin、DE/best/2/bin和DE/rand/2/bin等。虽然DE算法结构简单、操作容易，但具有较好的优化能力，且在单目标优化中获得了成功。

评价室内热舒适性的方法很多，如美国ASHRAE的新有效温度线图、人体舒适区等，其中以丹麦FANGER教授提出的PMV指标最具代表性.PMV(Predicted Mean Vote) 即预测平均评价，分为7级，如表2所示.

DE算法主要由以下几个步骤组成。

（1）初始化

设DE算法中种群数为NP，所求解问题的维数为D，可通过式（5）初始化种群：

其中，个体xi是由xij组成，和分别是 xij的上界和下界，randij(0,1)为[0,1]分布的随机函数。初始化种群xi后开始进行迭代循环进化，而每一次迭代进化由变异、杂交和选择三部分组成。

（2）变异操作

变异操作是在原种群的基础上对每一个个体进行变异操作，以产生不同于原个体的新个体。在第G次迭代中的个体xi,G，从种群中选择3～5个不同于xi,G的个体xr1,G、xr2,G、xr3,G、xr4,G和xr5,G来随机产生新个体。通常有以下5种产生新个体的策略[7-8]：

其中，F是差分向量的权重因子。在DE算法中，F在整个迭代过程中是固定的，xbest,G是第G代迭代中最好的个体。

（3）杂交操作

变异操作后，开始进入杂交操作产生试验个体Ui,G+1。杂交操作通常采用二进制杂交策略，二进制杂交为：

其 中 i∈ {1,2…NP}，j∈ {1,2…D}，rand(0,1)是在[0,1]区间的随机数，CR是杂交概率。

（4）选择操作

将原个体Xi,G和试验个体Ui,G+1进行比较，更好的个体将被选择产生下一代新个体Xi,G+1，即：

如果最优解的精度未达到要求或没有达到最大迭代次数，则算法返回到步骤（2）进行下一次操作，直到算法满足停止条件。

DE算法的流程如图1所示。

图1 DE算法的流程

3 差分进化算法的求解经济负荷分配问题

根据经济负荷分配问题的数学模型和DE算法的原理，本文对13台机组的经济负荷分配问题进行仿真计算和研究，在满足约束条件下，得到每个机组的功率输出和最优解，并得到其收敛曲线。

根据经济负荷分配问题的数学模型（1）和数学模型（2），当考虑阀点效应、忽略网损时，目标函数为：

同时满足（3）和（4）的约束条件。

13台机组发电机的参数如表1所示，总负荷功率为1 800 MW。

DE算法的参数设置为：NP=78，缩放因子F=0.8，杂交概率CR=0.2，变异采用DE/rand/1策略。算法的迭代次数n设置为1200次，计算得到13台发电机组的输出功率如表2所示。

表1 13台机组发电机参数

表2 13台机组优化功率输出

将上述算法分别独立运行50次，可得到优化的最优解和计算标准差如表3所示。

表3 独立运行50次结果分布

从表3可以看出，对于该算例中50次独立运行求解机组煤耗费用，采用DE算法得到的最优解为17 964.54，标准方差仅为2.81。从标准差可以看出，DE算法的独立求解具有稳定解。

图2为DE算法求解经济负荷分配问题的收敛曲线。可见，DE算法在约500次迭代时找到最优解。

图2 DE算法求解经济负荷分配问题收敛曲线

4 结 论

本文分析了经济负荷分配问题的数学模型，采用智能算法求解经济负荷分配问题。文中详细介绍了进化算法的原理和算法实现流程，并将所进化算法应用于解决电网经济负荷分配问题，得到了13机组经济负荷分配中各个机组的输出功率。经过50次独立运行，证明采用进化算法优化求解经济负荷分配问题的解具有很高的稳定性。