小卫星非常规动力学分析与控制

航天东方红卫星有限公司，北京 100094

为了保证小卫星及其组件的承载能力与正确试验考核，需要对小卫星开展各种动力学的分析与验证工作，主要包括有限元建模、模态分析、正弦振动分析与验证、随机振动分析与验证、冲击分析与验证、刚柔动力学分析、微振动分析、减振分析等。目前，大部分小卫星动力学分析与验证有常规的解决办法和成熟的技术处理流程，但在冲击分析评估、随机振动下的强度设计、减振平台的频率确定方法等方面还存在一些常规方法解决不好的问题。

对于小卫星组件的冲击评估与验证，常规方法是采用冲击试验规范谱方法[1-2]对组件进行考核验证。然而一些组件实际的最大冲击响应谱量级可能大大超出冲击试验规范谱，对于这类冲击需要研究分析对组件的影响与验证方法。对于随机振动的强度设计载荷，一般依据随机振动准静态载荷计算方法[3-4]把随机振动强度设计转化为静态载荷设计。基于随机振动输入功率谱计算准静态载荷的方法一般适用于均匀全频段随机振动环境，然而当针对窄带随机环境(或随机振动输入下凹)时，它会产生较大误差，不能完全适用。另外，小卫星及其组件的减振一般要考虑安装减振后的刚度(频率)是否满足要求，目前对于单一载荷减振平台的频率可以计算设计，但复合载荷下减振平台的频率计算设计还有待研究。本文对上述常规方法难于处理的小卫星动力学问题开展研究，介绍相关解决方法。

1 高量级冲击评估问题

1.1 当前的冲击处理方法与问题

卫星组件冲击试验一般按冲击试验规范谱[1-2]进行，如图1所示。规范中低频段f1～f2一般为100～600 Hz，中高频段f2～f3一般为600～4 000 Hz。对于鉴定级冲击试验，很多卫星规定冲击试验规范的量级Φ2=1 000gn。卫星研制中，一般以此冲击试验规范谱覆盖组件实际冲击响应谱来达到对组件的冲击考核验证。

图1 卫星组件冲击试验规范谱Fig.1 Shock test standard specification for satellite units

然而，卫星冲击响应测试表明一些组件的冲击响应谱量级很高，可到达4 000gn～10 000gn的高量级，远高于卫星组件的常规冲击试验规范谱条件。如此高量级冲击不仅地面试验设备能力难以达到,而且以冲击试验规范谱包络如此高量级的实际响应谱也往往超出组件的实际冲击环境影响，造成不必要的损伤。当前，还没有很有效的方法分析评估高量级冲击对组件的影响。

Garcia等[5]认为冲击加速度谱量级小于0.8f(f为频率)一般不对电子设备造成损伤。美军标1540C[6]以及美国国防部手册MIL-HDBK-340A[7]则建议2 000 Hz以上最大加速度冲击谱不超出0.8倍频率(即2 000 Hz时为1 600gn)可以评估不进行航天器组件的鉴定试验，这说明2 000 Hz以上高频冲击影响某种程度上可以忽略。俞佳江等[8]开展冲击下最大位移研究，提出冲击最大位移作为评估单机所受冲击响应的程度，位移估算方法表明星上冲击谱峰值对应的冲击位移没有那么大,以地面冲击试验规范谱覆盖星上最大冲击量级可能带来超出实际的过考核。Gaberson[9]提出用伪速度冲击谱(pseudo velocity shock spectrum)去评估冲击环境的严酷性，认为冲击加速度谱除以2πf一般可作为伪速度冲击谱(低频有差异)，建议254 cm/s(100英寸/s)为严酷冲击门槛值。Guthrie[10]构建峰值模态应变能函数去描述冲击环境下结构可靠性，以冲击环境下结构损坏时的应变能去评估设备能力。Hwang[11]则不是直接评估各频段的冲击加速度谱的影响，而是针对批量的冲击测试数据，在各频段应用随机过程理论，通过峰值加速度比、能量比、相位差等参数构造与冲击加速度谱相匹配的由系列正弦函数组成的时域冲击函数，从而以确定的时域冲击输入代替频域的冲击响应谱进行试验与评估。

1.2 高量级冲击的评估方法

通过冲击应变和冲击加速度测试数据研究分析，发现随着频率的增加，高频的冲击对应变贡献逐渐减少，冲击应变谱大致按频率倒数的平方的规律衰减，因此认为卫星组件实际冲击响应谱可以按产生的累计转化位移相等来等效，相当于冲击中传递的力等效。那么，与实际冲击响应谱等效后的冲击试验规范的量级为：

(1)

式(1)可以把组件实际经历的冲击响应谱S进行应力等效处理，而不再是用常规冲击试验规范谱去覆盖实际冲击响应谱。一般等效处理后，高量级冲击可以等价于一个冲击效应相等的较低量级的冲击试验规范谱条件。

1.3 验证

为了验证式(1)的正确性，利用试验件进行了6次的冲击试验测试，获得了冲击加速度和冲击应变。6次冲击的冲击响应谱如图2所示。工况d400曲线拐点约在600 Hz，谱型平直，可以代表冲击量级488gn的冲击试验规范谱。其他工况则在某些频点出现较大峰值，可以归为高量级冲击响应谱。以工况d400为基准，通过比较其他工况的应变与工况d400的应变，则可以得到基于应变的各工况冲击规范量级。例如，某一工况测得的冲击应变是工况d400的冲击应变的2倍，则认为此工况的冲击规范量级为工况d400冲击量级的2倍，即976gn。基于应变的各冲击工况的冲击规范量级及基于式(1)计算得到的各冲击工况的冲击规范量级见表1。

表1 基于式(1)的冲击量级与基于应变的冲击量级的比较

图2 6次冲击的冲击响应谱Fig.2 Shock response spectrums for 6 shock test cases

从表1可以看到，由式(1)计算得到的各冲击工况的冲击规范量级与基于测试应变的冲击规范量级相接近，规律一致。在冲击试验规范中，允差规定为6 dB，式(1)计算的结果误差最大为2.2 dB，误差较小，验证了本文方法的合理可行性。目前，多个型号使用此方法进行了卫星组件的高量级冲击评估和试验。

2 随机振动下强度设计问题

2.1 随机振动下强度载荷计算方法简介

随机振动环境是小卫星的重要动力学环境，小卫星及其组件都要开展随机振动环境下的设计和试验。小卫星及组件结构强度设计以及承载评估一般依据随机振动下准静态载荷作为力学载荷输入。目前，基于随机振动输入谱计算准静态载荷的方法主要有3个方法：试验规范法、Miles方法和模态质量参与法。试验规范法[3]使用随机振动输入加速度功率谱的总均方根乘以3.0作为准静态加速度，此方法理论上适用于刚体，对于一般结构其计算结果十分保守。Miles方法[4,12]针对单一模态结构或单自由度振动系统，在全频段均匀加速度功率谱作用下，由加速度输入功率谱量级、结构的固有频率及阻尼3个参数计算出随机振动等效准静态加速度。Miles方法对于一般结构其计算结果也较为保守。模态质量参与法[4,13]基于Miles方法扩展到多模态结构或者多自由度系统，它把每个模态的Miles方法的计算结果按模态质量参与的比例求和。多数航天结构或设备属于多模态结构，因此一般航天结构的随机振动准静态载荷的计算使用模态质量参与法。然而经研究发现，模态质量参与法并不完全正确，在某些情况计算准静态载荷会产生很大误差。

2.2 问题分析及修正方法

为分析模态质量参与法的误差产生原因及其影响大小，需从基础的Miles公式分析开始。

对于单模态结构或单自由度系统，随机振动环境的等效准静态加速度载荷计算按Miles公式，即：

(2)

(3)

多自由度系统的随机振动准静态载荷计算是基于单自由度系统发展起来的，一般称之为模态质量参与法：

(4)

模态质量参与法实际是每个模态的Miles算法的结果按模态质量参与的比例求和。然而，此方法忽略了模态质量耦合等的影响，在一些情况下计算准静态载荷将产生较大误差，下面具体分析。

(5)

式中:i=1,2,…,n;ωi为系统各阶固有频率;q为模态坐标变量;Φ为正交模态矩阵。振动系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为M,C,K，λ=[1 2 …n]T，n为系统自由度。

(6)

对式(6)两边进行傅里叶变换可得到:

(7)

其共轭形式为:

(8)

系统中与基础相连的单元刚度定义为kn，相对于基础的位移定义为zn。显然，knzn为系统作用于基础的力。可以验证，knzn为矩阵Kz的各行相加之结果，因此作用于基础的力可以表示为：

f=knzn=λTKz

(9)

实际坐标位移与模态坐标的关系为z=Φq，则式(9)可用模态坐标表示为：

f=λTKΦq

(10)

根据模态理论，式(10)可写为:

f=λTMΦΩq

(11)

由于eT=λTMΦ，则式(11)变为:

(12)

根据随机谱理论，力f的功率谱为:

(13)

把式(8)代入式(13)，得到：

(14)

力f的总均方和则为：

(15)

Gf除以系统总质量Mg的平方即为准静态加速度均方和：

(16)

式(15)中第1项即模态质量参与法的结果，可以写为：

(17)

图3 非耦合项占比与频带带宽的关系Fig.3 Relationship between percentage of non-coupling item and frequency band width

从图3可以看到，fz较低时，第1项之占比只有76%左右，第2项占比24%，那么忽略第2项耦合项会带来较大误差，这时计算0～fz窄带随机振动的准静态载荷须要采用式(16)。激励频段变宽，第1项之占比增大，第2项占比随之减少，在fz大于系统第2阶频率之后，第1项之占比基本达到97%，这时计算0～fz窄带随机振动的准静态载荷采用模态质量参与法足以满足要求。

不同的模态质量比也影响窄带随机振动的准静态载荷的大小，式(16)计算中第1项的占比随两阶模态质量比之比的变化见图4。从图4可见，两阶模态质量接近时，第2项影响增大，第2项占比最大可达30%，此时第1项占比只有约70%。随着两阶模态质量之比变大，相同的窄带，第2项影响相对减小，而第1项占比增加，如两阶模态质量之比为0.9/0.1时，第1项占比达到90%以上，第2项最大影响则小于10%。

图4 不同模态质量比的非耦合项占比Fig.4 Percentage of non-coupling item with different modal mass ratios

在全频段均匀输入谱下，式(16)可进一步简化为：

(18)

式中：

r=fi/fj, (r≤1)

3 减振设计问题

3.1 整星减振研究

针对一些卫星与组件的较大的振动响应，航天东方红卫星有限公司着手开展了整星与组件的减振研究。通过调研分析，选用拟橡胶金属材料作为减振实施手段。拟橡胶金属材料是由金属丝经过螺旋成型拉长，相互缠绕模压而成。这种材料不老化，可工作在高温、低温、腐蚀性介质等空间环境；可以制备成各种结构形状，具有不同的承载能力和方向； 同时具有良好的阻尼特性，阻尼比系数一般能达到0.2～0.3。

在整星上开展减振设计及试验。由拟橡胶金属材料研制而成的减振器安装在卫星对接环上，均布48个减振器。减振器设计为两类，即M6-2和M6-3。M6-2金属丝减振器：质量10.5 g，单个承重8.3 kg的频率为105 Hz；M6-3金属丝减振器：质量8.5 g，单个承重8.3 kg的频率为50 Hz。

整星减振试验测试卫星质量330 kg，依据某卫星改造而成，其基本频率为：横向39 Hz，纵向85 Hz。

正弦减振的典型曲线见图5，随机减振的典型曲线见图6。对整星测试数据综合分析后认为整星减振对卫星上较大响应的都起到了减振作用，最大响应点的正弦减振约30%(M6-2号)和55%(M6-3号)，最大响应点的随机减振约50%(M6-2号)和75%(M6-3号)。

图5 减振Z向0.6gn正弦振动曲线对比Fig.5 Sine vibration curve comparisons for direction Z

图6 减振Z向5.84gn随机振动曲线对比Fig.6 Random vibration curve comparisons for direction Z

3.2 减振系统频率设计

减振设计中，一个重要的参数是设计减振后结构的频率。对于承受载荷比较单一的组件，根据组件的频率以及减振器的刚度可以方便地计算得到减振后频率，如组件或卫星的纵向减振的频率设计。然而，当承受复合载荷时，减振后结构的频率则不太易于计算，如卫星与组件的横向受载的减振频率设计，此时卫星不仅受横向力，还受到弯矩作用。本文通过研究分析，对于减振器对称安装的结构(本研究为8个减振器均布安装)，给出承受弯矩作用下的减振器等效横向刚度为：

(19)

式中：kjh为减振器本身刚度；b为振动方向组件宽度的1/2；hc为组件质心高度。

安装减振器后的系统基本频率为：

(20)

式中：m为组件质量；ωz为组件主频率。

以减振器M5-2在前述组件A和组件B上进行试验验证,单个减振器M5-2的横向刚度约为699 446.5 N/m,共8个减振器在组件根部均布安装，减振后组件的频率计算结果与实测频率对比见表2，可以看到计算结果与实测结果符合很好。

表2 M5-2减振系统主频率计算结果与实验结果对比

4 结束语

本文按冲击应变/应力等效的原则提出一个复杂冲击响应谱转化为冲击试验规范谱的方法。该方法可以有效降低某些频点具有较大量级的冲击响应谱，使高量级的冲击响应具有在冲击台合理验证的可能。

对于多自由度系统的随机振动，当前的模态质量参与法计算窄带随机振动下的准静态载荷会带来误差。文中推导给出了考虑模态质量的耦合以及主频率的耦合的随机振动准静态载荷计算公式，可以消除计算误差。对于减振器对称安装的结构，提出了复合载荷下减振系统主频率计算公式。