基于内插法的工业机器人关节空间轨迹规划

田国富，郑博涛，孙书会，姜春旭

(沈阳工业大学机械工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 前言

随着机器人技术的不断发展，越来越多的行业开始使用机器人代替人们进行作业，将人们从繁重的生产任务中解放出来。为了使工业机器人能够较为理想的完成人们预定的任务，需要机器人在运动中避开障碍物，此时就要对工业机器人的运动轨迹进行规划研究。机器人轨迹规划指根据机器人所要求的作业任务，事先对机器人操作臂在作业过程中的位移、速度和加速度进行人为设定。在关节空间中进行规划是将关节角度表示为时间的函数，并且对关节角度时间函数的一阶、二阶导数进行规划[1,2]。当机器人末端需要通过多个中间点组成的连续路径时，则需要使用高阶多项式的方法生成一条光滑的轨迹，但随着中间点的增多，对应的线性系统的维度也会增加，这样就大大的增加了计算难度[3]，故本文提出了使用内插法来解决规划运动轨迹所存在的问题。

1 通过中间点的高阶多项式轨迹规划

高阶多项式适用于对运动轨迹要求比较严格的场合，通过插值函数将所有的中间路径点光滑的连接起来[4-7]。本文以某运动轨迹通过q0、q1、q2三个点，要求在t0、t1、t2时刻分别到达q0、q1、q2点，通过给出在初始点q0处时机器人关节的速度及加速度和终止点q2处机器人关节的速度及加速度，得到七个约束：

q(t1)=q1

七个约束使用六阶多项式生成机器人关节轨迹，为

q(t)=ao+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5+a6t6

通过分析，q(t)是连续可微的，其速度与加速度曲线也是光滑连续的，但为了确定多项式的各个系数就要求解出一个七维的线性方程，当随着中间点数的增加，其多项式系数也会逐渐增多，这样会使求解过程更加繁琐。针对高阶多项式轨迹规划的缺点，提出了使用内插法来规划轨迹。

2 内插法轨迹规划

对于第一段轨迹，设起始点与终止的时间分别为t0、tf，其位置、速度、加速度的约束条件为

由六个约束条件可以确定该关节变量的五次多项式函数[8-10]为

q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

对该五次多项式函数求一阶、二阶导数，即可得到在路径上的关节角速度和角加速度为

3 仿真

3.1 高阶多项式轨迹规划

本文对通过q0、q1、q2、q3四个点的轨迹进行七阶多项式轨迹规划。设轨迹从关节角为20°的位置开始运动，经过3 s运动到50°的位置，5 s的时候运动到90°，在终止时间8 s时到达70°的位置，并且轨迹在q0、q3点的速度及加速度为零。使用matlab软件可分别得到工业机器人关节角度、关节角速度、关节角加速度分别如图1、图2、图3所示，表明高阶多项式轨迹规划可以满足设定的初始条件。

图1 关节角度变化曲轴

图2 关节角速度变化曲线

图3 关节角加速度变化曲线

3.2 内插法轨迹规划

同样使用内插法以与高阶多项式轨迹规划相同的条件，对通过q0、q1、q2、q3四个点的轨迹进行轨迹规划。设轨迹从关节角为20°的位置开始运动，经过3 s运动到50°的位置，5 s的时候运动到90°，在终止时间8 s时到达70°的位置，并且轨迹在q0、q3点的速度及加速度为零，对各个中间点的速度及加速度进行人为设置，为了计算简便，将混合时间点处的速度与加速度都设置为零，通过使用Matlab软件编程可分别得到三段五次曲线组成的关节角度、角速度、角加速度随着时间变化的曲线，如图4～图6所示。

图4 三个五次曲线段组成的关节角度变化曲线

图5 三个五次曲线段组成的关节角速度变化曲线

图6 三个五次曲线段组成的关节角加速度变化曲线

4 结论

通过观察图4可以发现，内插法轨迹规划的关节角度变化完全满足初始约束，即轨迹从关节角为20°的位置开始运动，经过3 s运动到50°的位置，5 s的时候运动到90°，在终止时间8 s时到达70°的位置，速度变化与加速度变化也满足设定的初始约束，且关节角度与速度变化曲线都较为光滑连续，因此使用内插法来进行轨迹规划可以很好的替代高阶多项式的方法，大大降低了计算难度。