数学思想方法的探讨

徐红

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略。

数学思想与方法为数学学科一般原理的重要组成部分，下面从美国心理学家布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。

数学思想方法教学的心理学意义

一是“懂得基本原理使得学科更容易理解”。当学生掌握一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，即学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

二是有利于记忆。“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。

三是学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

四是强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙”。一般地讲，中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现，而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

数学教学内容的层次

中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断渗透相关的深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的飞跃。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。这三个思想几乎包含了全部中学数学内容；符合中学生的思维能力及实际生活经验，易于被他们理解和掌握；在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，在教学中具有辩证统一性。基于上述认识，得出了数学思想方法教学的一个教学模式：操作—掌握—领悟。

对此模式作如下说明：（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；（4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；（5）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。