由《三体》到锯齿波有效值

王浩文

摘 要：中学教材中着重讲述了正弦交流电的有效值规律，而其它有效值的计算需用微积分求得。本文通过对刘慈欣三体小说的一番研究，发现其与交流电有效值有一定的关联。通过该研究，发现锯齿波有效值可以利用简单的数学方法进行计算。这里介绍两种方法，即代数法和几何法。

关键词：锯齿波交电流;有效值;三体

1 引言

通过对刘慈欣三体小说的仔细翻阅，不难发现书中有一段话大致是这样记载的：“无线细节不管何时都是他们必须去面对的一种视觉上现象。世界是多维的，从三维来看，人类在视觉上就不会面对无线细节，而是有限细节。这也不难理解，例如你所研究的现象极其复杂和繁琐，但只要你研究的够仔细，够认真，且时间上合理利用，就能把大部分的现象研究透彻，也就是大部分的细节会被展示出来。然而如果站在四维的角度来看，其实三维事物不管在哪个层次的思维视野中都是暴露的，导致原来封闭和看不见的一切都将平行并列出来。”然而这种现象正是莫沃维奇与关一凡博士在“万有引力”号上第一次进入四维世界时所看到。于以上的片段我产生了思考：既然三维事物在四维可以将无限细节尽收眼底，那么在解决品面问题时，能否转化成三维空间中的问题呢？于是，我便联想到了求解锯齿波电流的有效值的问题。

2 有效值定义

人教版教材选修3-2指出：当交流电与恒定直流电通过等值电阻时，且该电阻在交流电的一个周期内产生的热量相同，设定恒定电流用I表示，电压用U表示，那么该恒定直流的电流I和电压U可称作交流电的有效值[1]。这种定义是有前提的，那就是保持通过相等电阻的时间相同，并且产生的热量也一样。这便说明有效值是平均值，代表着交流电产生的结果。因为电阻发热与电流方向并无关系，因此计算整个周期的有效值并无必要，这种情况下可考虑半周期计算。然而生成的电流图像呈规律性变化，也就是轴对称图像。因此有效值的计算可取其中的四分之一周期[2]。

3 代数法

如图1所示，已知锯齿波电流用I表示，最大值为，其中周期为，请通过代数法计算其有效值。

思路：刚刚看到这倒题时，我采用的是将其转化成求二次函数与坐标所围成的面积问题。

即W=（注为所有的实数）所以W可看成函数，时与x轴所围成的坐标，但随后便发现，这种方法要使用定积分的方法，且要求的值，在暂未学习的情况下，求知的心忍不住尝试其他的方法，于是我开始了寻找初等数学解法的道路。最后经过一段时间的努力，找出了方法如下：

1）将（）分为n份，每一份长度为。

2）计算每一个内做的功为：

3）可拆分为I2和的乘积，其中I2可表示正方形的面积（边长为I），可表示为一段长度，因此其乘積便立体图形（正方体或长方体）的体积，用V表示。如图2所示。

4）将所有小长方体累加可得下图（如图3），所有长方体累加起来的体积可近似看作一四棱锥。（如图4）

最终由四棱锥的体积公式得：（一个周期内的焦耳热）

将上述问题的方法进行总结，我提炼出了一数学计算方法，如下一题：

4 几何法

5 总结

通过本次探究获得了许多的收获，在对于用常规方法不能轻松求解时，应该从它角度寻找解题方法，每一个角度都有可能是解题的关键之处。从以上可知，有时候利用简单的初等初等数学方法也能去解答复杂的难题及繁琐的计算。正如计算上述有效值一样，通过计算利用的对称知识、分割与逼近、数列求和、极限和数形结合等思想对引导学生应用数学处理物理问题有一定的启发和借鉴作用。

参考文献

[1]人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书物理（选修3-2）[M].北京：人民教育出版社，2007：39.

[2]张军.交流电有效值有巧解[J].中学物理教学参考，2013，39（11）：23.