例谈分类讨论思想方法在解题中的应用

周淦利

分类讨论在数学中既是一种重要的策略思想，又是一种重要的数学方法.很多数学问题，涉及到的知识范围广，约束条件多，很难用统一的方法解决，需要对研究对象按一定的标准分类，然后对每一类分别进行研究得出每一类的结果，最后再综合各类结果便可得到整个问题的解答.分类讨论的思想方法在高考中占据着非常重要的地位，相关的试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性等特点，突出考查同学们思维的严谨性和周密性、认识问题的全面性和深刻性，以及分析问题、解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.

一、规律方法总结

1.一般地，涉及到以下几类问题需要进行分类讨论：

（1）涉及的數学概念是分类定义的.

（2）运算公式、法则、性质是分类给出的.

（3）参数的不同取值会导致不同的结果.

（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果.

（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论.

（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决.

（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论.

2.分类讨论需坚持以下几个原则：

（1）分类标准统一、对象确定.

（2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分.

（3）分层讨论，不能越级讨论.

（4）对讨论的结果还要进行综合概述.

二、典型应用分析

1.分类讨论思想方法在集合中的应用

在集合运算中常常需要结合元素与集合、集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常常需要进行分类讨论求解.