关于有限群的p-幂零性与超可解性判别准则

霍丽君，王丽丽

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)

本文所考虑的群均为有限群，所使用的群论理论的符号和术语都是标准的，可参考文献[1-3]。记G为一个有限群，|G|为它的阶，π(G)为|G|的所有素因子的集合，Gp为G的Sylowp-子群，Φ(G)为G的Frattini子群，即G的所有极大子群的交。

在有限群论中，利用子群的某些性质来刻画群结构是群论中的经典且重要的研究方法之一。 从广义正规性或可补性的角度去研究群的结构成为该研究方向的一种重要方法，得到许多有深刻意义的结果。1970年，Buckley利用子群的正规性条件证明了如果奇数阶群G中的每一个极小子群是都是正规的，则G是超可解的。 2000年，Ballester-Bolinches等[4]给出了c-可补子群的概念，子群H在G中是c-可补的，如果存在G的一个子群T使得G=HT，且H∩T≤HG，这里HG是包含在H中的G的最大的正规子群，作者对所有子群为c-可补子群的有限群的特性及其在群构造方面的应用进行了研究。许多学者对其在群结构方面的影响进行了进一步的研究[5-6]。 子群H在群G中是类正规的，如果对任意x∈G，H和Hx在〈H,Hx〉中是共轭的。G的子群H是G的H-子群，如果对G的任意元素g，有Hg∩NG(H)≤H。 群G的子群H在G中是弱正规的[7]，如果对任意g∈G，当Hg≤NG(H)时必有g∈NG(H)。易知每一个类正规子群和H-子群都是弱正规子群，利用弱正规子群去研究群的构造是一个有效的工具，人们得到了一些有意义的结果[8-10]。作为该研究课题的深化，利用群的可补性及弱正规性，本文定义了一类新的子群，称为弱正规可补子群。

定义1 群G的子群H在G中是弱正规可补的，如果存在G的一个子群T使得G=HT，且H∩T是G的弱正规子群。

显然，类正规子群、H-子群和弱正规子群都是弱正规可补子群。 本文在第2节先列出一些有用的引理，在第3节考虑用有限群中某些子群的弱正规可补性去研究群的结构，得到有限群的p-幂零性以及超可解性等的若干判别准则。

1 预备知识

引理1(参考文献[8]引理2.1,2.2) 设N、H、K是群G的子群。

1) 如果H≤K≤G,且H在G中是弱正规的，则H在K中是弱正规的；

2) 如果N在G中是正规的，且N≤H，则H在G中是弱正规的当且仅当H/N在G/N中是弱正规的；

3) 如果H在G中既是次正规又是弱正规的，则H在G中是正规的；

4) 如果N在G中是正规的，P是G的正规p-子群满足(|N|,p)=1，则PN和PN/N分别在G和G/N中是弱正规的。

引理2 设N、H、K是群G的子群。

1) 如果H是G的弱正规可补子群，且H≤K≤G，则H是K的弱正规可补子群；

2) 如果N在G中是正规的且N≤H，则H在G中是弱正规可补的当且仅当H/N在G/N中是弱正规的；

3) 设N是G的正规子群，且H与N满足(|N|,|H|)=1。若H在G中是弱正规可补的，则HN/N在G/N中是弱正规可补的。

证明

1) 如果H是G的弱正规可补子群，则存在G的一个子群T使得G=HT，且H∩T是G的弱正规子群。显然K=H(K∩T)，且H∩(K∩T)=H∩T在G中是弱正规的。 由引理1的1)可知,H∩(K∩T)=H∩T在G中也是弱正规的。

2) 首先设H在G中是弱正规可补的，即对G的某个子群T有G=HT，且H∩T是G的弱正规子群。由于N(H∩T)在G中是弱正规的，因此由引理1的2)有N(H∩T)/N在G/N中是弱正规的。显然G/N=(H/N)(TN/N)，且(H/N)∩(TN/N)=N(H∩T)/N在G/N中是弱正规的，从而H/N在G/N中弱正规可补。反之，如果存在一个G/N的子群T/N使得G/N=(H/N)(T/N)且(H/N)∩(T/N)=(H∩T)/N在G/N中是弱正规的，进一步由引理1的2)可得，H∩T在G中是弱正规的。 注意到G=HT，于是H在G中是弱正规可补的。

3) 设H在G中是弱正规可补的，即存在G的某个子群T有G=HT，且H∩T是G的弱正规子群。 易知N≤T，且N(H∩T)=HN∩T在G中是弱正规的。 则由引理1的2)有(HN∩T)/N在G/N中弱正规。 由于G/N=(HN/N)(T/N)且(HN/N)∩(T/N)=(HN∩T)/N在G/N中是弱正规的，于是HN/N在G/N中是弱正规可补的。

引理3(参考文献[2]的定理7.4.5) 群G有正规p-补子群当且仅当下列条件之一成立：

1) 对每一个G的非单位p-子群H，NG(H)/CG(H)是一个p-群；

2) 对每一个G的非单位p-子群H，NG(H)有一个正规p-补。

引理4[11]设G的每一个真子群超可解，但G本身非超可解， 则

1)G恰有一个正规Sylow子群P；

2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的一个极小正规子群，且P/Φ(P)是非循环的；

3) 对于p>2，P的方次数为p，对于p=2，其方次数最多为4。

引理5[12]

1) 如果G/H和G/K都是超可解的，则G/(H∩K)是超可解的[12]；

2) 如果G/H是超可解的，且H是循环的，则G是超可解的[12]。

引理6[11]G是超可解的当且仅当G/Φ(G)是超可解的。

引理7[13]设P是一个p-群，则

1)P/Φ(P)是初等交换群；

2) 如果|P/Φ(P)|=pn，那么存在x1,…,xn∈P使得P=〈x1,…,xn〉。

2 主要结论

定理1 设p是整除|G|的最小素因子，如果G的每一个p阶子群和4阶(当p=2时)循环子群在G中是弱正规可补的，则G是p-幂零群。

证明假设G为非p-幂零群且G是一个极小阶反例。 若任意G的每一个p阶子群和4(当p=2时)阶循环子群在G中是弱正规的，设q是一个不同于p的|G|的素因子，Q是一个正规化P的一个q-子群，显然P◁PQ。 设H是P的p阶(4阶，当p=2时)循环子群，由引理1的1),H在PQ中是弱正规的。 由于H◁◁P，故H◁◁PQ。根据引理2.1的3)，H正规于PQ。此外，由于H是p(4，当p=2时)阶循环群，则有|Aut(H)|=p-1(=2，当p=2时)，但p是|G|的最小素因子，q>p(q>2，当p=2时)，故q不整除|Aut(H)|。 所以Q中心化H。 再由文献[2]的定理5.3.10以及文献[11]的定理5.12，可得Q中心化P，从而NG(P)/CG(P)是一个p-群。由引理3可知，G是幂零的，矛盾，因而必存在P的p阶或4阶(当p=2时)子群H在G中不是弱正规的。 首先令p为奇数，由假设H是G的弱正规可补子群，即存在G的子群T使得G=HT且H∩T是G的弱正规子群。易知H∩T=1，于是T◁G。 由引理2的1)可知，T满足定理的条件，则T是p-幂零的，进而G是p-幂零的，矛盾。 假设p=2，由于G为非2-幂零群，于是G中存在一个极小非2-幂零群，不妨设为K。 由文献[11]第Ⅳ章定理5.4可知，K是G的一个极小非幂零群，且K=[K2]Q，这里K2是K的正规Sylow-2子群，Q是K的非正规Sylowq-子群，q≠2，且K2的方次数至多为4。 由上面的证明可知，K2中有2阶或4阶的循环子群H不是弱正规而是弱正规可补的。由引理2 的2)可知，H在K中也是弱正规可补的。 于是存在K的子群T使得K=HT，且H∩T在K中是弱正规的。由于H不是弱正规的，K≠T。 如果|H|=2，则H∩T=1。显然Q≤T，且T◁K。 又因为T是K的幂零子群，易得Q◁K，矛盾。现设|H|=4。 如果|H∩T|=2，则|K∶T|=2，从而T是K的正规幂零子群，又可得Q◁K，矛盾，所以H∩T=1，令H1是H的2阶子群，如果H1在K弱正规，则由引理1的3)可知,H1在K中是正规的，因此H1T是K的正规幂零子群，于是Q◁K，矛盾。 由假设H1在K中是弱正规可补的，则存在子群T1使得K=H1T1且H1∩T1=1。 由于T1是K的正规幂零子群，易得K是2-幂零群，矛盾。 定理证毕。

定理2 设p是整除|G|的最小素因子，H是G的正规子群使得G/H是p-幂零的。 如果H的每一个p阶子群和4阶(当p=2时)循环子群在G中是弱正规可补的，则G是p-幂零的。

证明由引理2的1)可知，H满足定理的条件。由定理1知H是p-幂零的。令Hp′是H的正规p-补，则易推得Hp′正规于G。 假设Hp′≠1，对G的阶|G|运用归纳法，由引理2的3)可知，G/Hp′满足定理的条件，从而G/Hp′是p-幂零的，于是G是p-幂零的。 现设Hp′=1， 则H是一个p-群。因为G/H是p-幂零的，设K/H是G/H的正规p-补。由Schur-Zassenhaus定理可知，存在K的Hallp′-子群Kp′使得K=HKp′。再应用引理2及定理1可得，K是p-幂零的， 从而K=H×Kp′，由此可得Kp′是G的正规p-补，于是G是p-幂零的。 定理证毕。

推论1 对任意p∈π(G)，假如群G的每一个p阶子群和4阶循环子群(当p=2时)在G中是弱正规可补的，则G是超可解型的Sylow塔群。

证明设|G|的素因子个数n≥2，对n运用数学归纳法，反复运用定理1及引理2可得此结论。

定理3 设G是一个群，p∈π(G)，P是G的一个正规p-子群。若G/P是超可解的，并且P的每一个p阶子群和4阶(当p=2时)循环子群在G中是弱正规可补的，则G是超可解的。

证明假设G不是超可解的，并令G是一个极小阶反例。通过以下步骤进行证明：

1)G的每一个真子群K是超可解的

设K

2)P是G中唯一一个非平凡正规Sylow子群

由引理4知，G有唯一一个非平凡正规Sylow子群，不妨设为Q，并设q是一个素数使得Q是一个q-群。 由Schur-Zassenhaus定理知，存在G的一个补群K使得G=QK。 显然，K≅G/Q，从而由步骤1)知G/Q是超可解的。 根据条件，G/P是超可解的，由引理5 的1)，得到G/(P∩Q)是超可解的。由于G是极小非超可解的，P∩Q≠1，进而p=q，且P≤Q。 由Frattini子群的性质知，Φ(Q)≤Φ(G)。 因为Φ(Q) charQ◁G，所以Φ(Q)◁G。由引理6，判断G/Φ(G)不是超可解的。 由引理4可得，Q/Φ(Q)是G/Φ(Q)的极小正规子群。易知，PΦ(Q)=Φ(Q) 或者PΦ(Q)=Q，如果PΦ(Q)=Φ(Q)，即P≤Φ(Q)，则由

G/Φ(Q)≅(G/P)/(Φ(Q)/P)

知G/Φ(Q)是超可解的。 由于Φ(Q)≤Φ(G)，又由

G/Φ(G)≅(G/Φ(Q))/(Φ(G)/Φ(Q))

得到G/Φ(G)是超可解的，矛盾。从而P不在Φ(Q)中，即有PΦ(Q)=Q，于是P=Q。

3) 导出矛盾

如果P是循环群，则由引理5的2)知，G是超可解的，矛盾。 于是P是非循环群，设|P/Φ(P)|=pn。由引理7知，P/Φ(P)是一个初等交换群，从而P/Φ(P)由n个元素x1Φ(P),x2Φ(P),…,xnΦ(P)生成，这里x1,x2,…,xn∈P，而x1,…,xn恰好为P的生成元，即有P=〈x1,x2,…,xn〉。由引理4的3)可知P的方次数是p或者4， 从而对P的任意p阶或者4阶子群H，H在G中是弱正规可补的，即存在G的子群T使得G=HT，且H∩T在G中是弱正规的。又因为(H∩T)◁◁P◁G，由引理1的3)得(H∩T)◁G，从而H在G中是c-可补的，再由[6]的定理1.3可知，G是超可解的，矛盾。 定理证毕。

定理4 设H是群G一个正规子群，假设G/H是超可解的，并且H的每一个素数阶子群和4阶循环子群在G中是弱正规可补的，则G是超可解的。

证明假设定理不真，并设(G,H)是一个使得|G|+|H|为最小值的反例。 由G的极小性易知G的每一个真子群是超可解的。根据引理4,在G中存在唯一非平凡正规Sylow子群，设其为p-群P。 由Schur-Zassenhaus定理可知，在G存在子群K使得G=PK，且P∩K=1。 显然，K≅G/P是超可解的，进而G/(P∩H)是超可解的。 如果P∩H