力的平行四边形法则证明探索

刘锋

摘 要：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这就叫做平行四边形定则，它如同惯性定律一样，这是一条永远无法用实验完美证明的定则。只是随着矢量及其所遵循的运算定则的确立，力、位移、速度等被纳入力的矢量体系，以及运动的独立性、力的独立作用原理和物体在摩擦力下运动的动力机制被揭示，人们才从逻辑上接受了这一定则，本文通过具体的图形公式演算对力的平行四边形法则进行分析，从而提升自我科学思维和实验探究两方面的素养。

关键词：力的平行四边形法则;证明;矢量

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）23-0252-02

我是在北京二龙路中学读的初中和高中，记得我们的物理老师肖老先生，在给我们讲到力的合成与分解时说过：力的平行四边形法则是经实践检验且科学界公认的公理，但是却一直没有理论证明，如果同学们有兴趣今后可以去研究一下。带着老师的这句话84年考入了大学，在大学期间，茶余饭后也常常思考这个问题，但思路上始终没有突破，无法走通。但是在大一期间的一天临睡觉前，脑海中突然出现了如下所述的证明思路，并连夜记录下来。本文是2017年整理修改后的稿件.这只能算是对“平行四边形法则”一种证明思路的探讨，未必严谨也未必正确。欢迎各界朋友批评指正，共同探讨。以下是正文：

首先请我们来分析这样一个事实：当我们把一个直三棱柱体浸入某种液体中，并使其一个侧面与液面重合。这时，毫无疑问该物体受到了垂直向上的浮力。并且这一浮力很显然是由浸入液体中的各个侧面所受到的液体压力所造成的。即我们应该这样认为：浸入液体中的各个侧面所受到的液体压力即为该物体所受到的各个分力，而这些分力综合作用的结果，最终产生了向上的浮力，即各个分力的合力。

有了这样的认识我们就可以运用已知的数学及物理学知识来分析各个力的大小及方向，推导它们之间的联系及遵循的一般规律。

下面的图形表述了一个直三棱柱体浸于液体中并使其一个侧面与液面重合的情况，如图1。

不难看出，事实上该三棱柱体，有四个面浸入到液体中并受到液体压力的作用。面ABBA受到力c的作用，面ACB受到力Q的作用，面ACCA受到力b的作用，面ACB受到力Q的作用。

很顯然，由于该物体为直三棱柱体，力Q与Q大小相等方向相反，且作用于一条直线上，因此二力抵消，等效合力为零。

至此我们可以认为如果该物体所受到的浮力为f，那么f只能是力b与力c共同作用的结果，即f为合力，b、c为分力。

那么这三个力之间是怎样的一种关系呢？为了便于分析我们把上面的立体示意图改画为下面的平面图，如图2。

任意三角形ABC为直三棱柱体的垂直截面。直三棱柱体的长度我们假定为l。即AA'=BB'=CC'=l。根据流体力学，AB侧面与AC侧面所受到的压力是与该侧面垂直的。故ob⊥AC、oc⊥AB。力b与力c的大小应该等于相应侧受到的压强与面积相乘，因为压强与深度成正比，因而压强的大小是呈线性连续变化的，故而AB与AC面的平均压强可以用AB与AC的中点C1、B1点的压强代替。下面来计算AB与AC两个侧面所受到的液体压力：

当人们任意给定有相同作用点的两个力时，如b1，c1两个力的大小由b1，c1的长度代表，力的夹角为任意夹角α。我们总能找到一个直三棱柱体a、b、c为截面边长，只要使其a面与液面重合。且令。则总能将任意大小，任意夹角的两个力纳入这个浸入液体的直三棱柱的体系中，并由这个体系表达出来，如图3图4所示。

又因为两个力的合力是唯一的，因此我们通过以上的证明完全可以得出这样的结论：

如果有两个任意大小任意方向的力作用于一点，用有向线段的长度和方向代表这两个力的话，那么它们的合力（等效力）的大小和方向可以用从分力的共同作用点出发的，以二分力为临边所做的平行四边形的对角线来表示，对角线的长度代表合力的大小，对角线的方向代表合力的方向。

而这正是力的平行四边形法则所表述的内容。

参考文献

[1] 邓磊.一个简单实验的再思考——例谈《力的平行四边形定则》的实验教学[J].湖南中学物理，2017（3）：40-41.

[2] 陈小玲，黄赛飞.“力的平行四边形定则”实验的改进[J].中学物理教学参考，2016（12）：74-75.

[3] 陈怡.力的平行四边形定则实验中的橡皮筋问题探讨[J].物理之友，2016（5）：31-33.

[4] 周春.实验“验证力的平行四边形定则”的拓展[J].新高考：高一物，2012（9）：64.