一道高考压轴题的创新解法——2019年全国高考理综Ⅱ卷第25题解法赏析

陈显盈 谢秀锋 陈一翔

(温州中学,浙江 温州 325014)

1 试题再现

(2019年全国Ⅱ卷第25题)一质量为m=2000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶．行驶过程中,司机忽然发现前方100 m处有一警示牌．立即刹车．刹车过程中,汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图1(a)中的图线．图1(a)中,0-t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略,汽车仍保持匀速行驶),t1=0.8 s;t1-t2时间段为刹车系统的启动时间,t2=1.3 s;从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作,直至汽车停止,已知从t2时刻开始,汽车第1 s内的位移为24 m,第4 s内的位移为1 m．(1) 在图1(b)中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图像; (2) 求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小;(3) 求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1-t2时间内汽车克服阻力做的功;司机发现警示牌到汽车停止,汽车行驶的距离约为多少(以t1-t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度)?

图1

点评:该高考题作为压轴计算题,以实际生活中的汽车刹车问题作为情境,考查单个物体的多过程运动:开始做匀速直线运动,接着做变减速运动,再做匀减速直线运动,最后静止．该题信息量比较大,需要学生细心审题、分析过程,从题干和图像中获得信息,突出了图像的呈现方式,重点考查运动学、牛顿第二定律、F-t图像面积的意义、动量定理、动能定理等重要知识和规律．

2 试题来源

该高考题第2问主要考查匀减速直线运动的规律,主要题干如下:t2开始汽车第1 s内的位移24 m和第4 s内的位移1 m,求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小．该问题实际源自一道常见的汽车刹车试题,如安徽师大附中2017届高三上期中卷第7题等等,其试题具体如下.

(原常规题)某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路以某一速度匀速运动,突然发现前方50 m处停着一辆乙车,立即刹车,刹车后做匀减速直线运动．已知该车刹车后第1个2 s内的位移是24 m,第4个2 s内的位移是1 m.则下列说法正确的是

(A) 汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为23/12 m/s2.

(B) 汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为2 m/s2.

(C) 汽车甲刹车后停止前,可能撞上乙车.

(D) 汽车甲刹车前的速度为14 m/s.

点评:很显然,第2问改编自一些常规物理题,除了文字表述高度一致,连试题数据也大致相同,无非将“第1个2 s内的位移是24 m,第4个2 s内的位移是1 m.改编为“第1 s内的位移为24 m,第4 s内的位移为1 m”,两题问题设置也相同,分别求刹车前速度、加速度及刹车距离．

3 试题解析

官方公布的参考答案及解析过程极其繁琐,具体解法如下.

图2 定性绘制v-t图像

第1问:v-t图像如图2所示(t1-t2段做加速度大小越来越大的减速直线运动,t2后做匀减速直线运动)．

第2问: 求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小．

(1) 定义字母含义．设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1,则t1时刻的速度也为v1,t2时刻的速度为v2,在t2时刻后汽车做匀减速运动,设其加速度大小为a,取Δt=1 s,设汽车在t2+(n-1)Δt内的位移为sn,n=1,2,3,…．若汽车在t2+3Δt-t2+4Δt时间内未停止,设它在t2+3Δt时刻的速度为v3,在t2+4Δt时刻的速度为v4．

(2) 通过速度v2判断停止时间范围.

由运动学公式有

s1-s4=3a(Δt)2.

(1)

(2)

v4=v2-4aΔt.

(3)

(4)

这说明在t2+4Δt时刻前,汽车已经停止．因此,(1)式不成立．

(3) 重新列方程求加速度a和速度v2.

由于在t2+3Δt-t2+4Δt内汽车停止,由运动学公式有

v3=v2-3aΔt.

(5)

2as4=v32.

(6)

联立(2)、(5)、(6)式,代入已知数据解得

a=8 m/s2,v2=28 m/s,v3=4 m/s.

或

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不合题意,舍去．

点评:第1问考查定性绘制v-t图像；第2问考查匀减速直线运动的运动学规律,参考答案提供的解法需设3个以上的未知数,用到多种运动学公式,解题过程繁琐；第3问难点是利用图像求变力的冲量,还要用近似方法求变加速过程的刹车距离．总之,该题解题难度较大,物理量和公式多,解题过程繁琐,计算量非常大,对学生的数学运算能力要求较高,侧重考查分析推理能力及应用数学知识解决物理问题的能力．

4 试题创新解法

(1) 如何简便求解加速度a和速度v2(第2问)?

方法1.逆向等效分析法.

① 通过时间t判断停止时间范围．假设t2开始第4 s末后汽车还在运动,设(t2+3)s开始的运动时间为t、加速度为a,根据题意和逆向运动过程进行等效分析,可得

(7)

(8)

图3 逆向等效分析法

② 重新列方程求加速度a和速度v2．如图3所示,可知t2开始第4 s末前已停止运动,(7)式不成立,但满足

(9)

方法2.利用二级结论分析法.

① 通过位移之比判断停止时间范围．利用物理二级结论:初速度为0的匀加速直线运动,相同时间间隔内的位移分别为1∶3∶5∶7……．该题根据逆向运动进行等效分析:若t2开始第4 s末恰好停止,位移分别为1、3、5、7,则位移之比应该是1/7;若t2开始第3 s末恰好停止,位移分别为0、1、3、5,位移之比应该是0/5;而实际之比为1/24介于0/5、1/7之间,说明停止时间应该在t2开始3-4 s之间．

图4 二级结论分析法

(2) 如何定量绘制v-t图像(第1问)？

v=30 (0≤t≤0.8 s)

v=30-8(t-0.8)2(0.8 s≤t≤1.3 s)

v=28-8(t-1.3) (1.3 s≤t≤4.8 s)

(3) 如何准确计算变加速段(t1-t2段)的刹车距离(第3问)？

第3问:司机发现警示牌到汽车停止,汽车行驶的距离约为多少?其中,t1-t2段汽车做加速度均匀增大的减速直线运动,该段的刹车距离s比较难求．

5 试题总结

该高考题在情境创设上运用生活实际情境、构建理想模型,在问题设置上体现了关联性,呈现层次性,要求学生在分析实际问题的过程中主动构建物理模型,考查学生灵活运用所学物理知识解决实际问题的能力,促进学生学科素养的发展．该题给物理教学带来以下几点启示:要关注物理学科与生活实际的联系,应用物理知识解决生活实际问题;要注重运用数学方法解决物理问题的能力;要善于运用物理二级结论,不要盲目套用,而要结合题意灵活运用;要多注重科学的思维方法和研究方法．

总之,物理高考题具有权威性、指导性和规范性．该高考压轴题严格遵循考试大纲,以物理观念、科学思维、科学探究、科学态度与责任的物理学科素养为导向,注重对科学思维的系统性、广阔性、逻辑性、创新性及灵活性等要求的考查,引领学生在生活中体验物之理、物之美．