走向“研究”的初中数学专题复习课

薛秋萍

背景描述

专题研究课是初中数学教学的重要课型之一，是教学过程中不可或缺的重要部分。专题复习既能够系统地加深学生对所学知识的理解和记忆，又可以对前面学习中遗漏的知识进行填补和完善。所以说，高质量的专题复习课可以促进学生各种能力的发展。

在以往的观课中，我发现很多教师所开设的专题复习课却是习题课。课堂上，学生们埋头题海，老师也仅是陪练而已。一节课下来，会做的再做了一遍，不会的仍然不会。那么如何设计专题复习课，让专题课真正起到应有的作用呢？

我在学生学习图形相似的基础上，开设了一堂“动点运动形成有一个大小不变角的三角形的研究”的展示课。教学的定位是“辨析清楚研究对象，突出方法重选择，渗透思想提能力”，创新的设计过程、丰富的学生活动，催生了精彩的数学课堂，取得了良好的教学效果，受到了观课老师的一致好评。

过程展示

师生对话辨析对象

（PPT展示）已知，如图在Rt△ACB中，∠ C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点 P由 B出发沿 BA方向向点 A匀速运动，速度为 1cm/s;点 Q由 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，速度为 2cm/s.若 P、Q同时出发，运动的时间为t（s）（0

大小不变角？生：△APQ，△BCP，△ APC师：为什么要强调“大小”不变？生：说明跟位置无关，只要确保大小不变即可。师：本节课，我们研究的对象就是△APQ，△BCP，△ APC这样的有一个大小不变角的三角形。合作探究编制问题师：回忆一下，学习至今，我们对三角形的研究有哪些内容？生：三角形的相似、三角形的现状（等腰三角形、直角三角形）。师：很好，还有其他补充吗？生：三角形的面积、周长、三角形的边、角等。师：现在，我们以△ APQ为研究对象，补充完整问题。在点P、Q在运动过程中，当 t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形 .（独立思考、组内合作、代表发言）生：在点P、Q在运动过程中，当 t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ ABC相似？是直角三角形？是等腰三角形？的面积等于△ ABC面积的一半？ ……

师：同学们，集合全班智慧，围绕三角形的边角及其现状，编制了非常多的问题。下面请同学们以小组为单位一起解决上述问题。

梳理知识构建方法

师：同学们在解决上述编制的问题中，你们觉得有困难的是哪个问题？

生：（3）根据问题△ APQ是等腰三角形，因为不明确哪两条边相等，所以我们对△ APQ的边进行分类，但是只会做AP=AQ，其他两种没有做出来。

师：很好，请坐。那么其他组有做出来的吗？

生：我们组过点 P作 PH ⊥ AC，借助相似算出 PH，AH，再求出 QH，进而利用勾股定理求出 PQ，根据等腰三角形的性质三边两两相等，构建三个方程，从而求出 t的值。

师：这位同学实质是借助代数方法，先利用勾股定理算出△ APQ的三边，然后依据三边两两相等，构建三个方程，但是过程比较艰难。有不同的而且更有效的方法吗？

生：当 AQ=PQ时，我们组过 Q作 QH ⊥AB，利用等腰三角形三线合一得出 AH，进而利用△ AQH ∽△ ABC的比例线段构建方程，求出 t的值。当 AP=PQ，同理可求出t。

师：抓住△ AQP的不变角∠ A，利用等腰三角形三线合一的性质，寻找相似，构建方程，顺利解决。非常简洁，漂亮！

师：请同学们谈谈“解题之道”。

学生适当交流，形成以下共识：解决有一个大小不变角的三角形的相关问题的时候，抓牢这个不变角，寻找相似或者作垂直构建相似来解决。

师：同学们在解题过程中可谓左右逢源，体现了方法选择的价值。下面，请同学们选择有效的方法解决老师给出一些变式问题，进而感悟问题变式的本质。

选择方法感悟变式

（PPT展示）

（1）当

t为何值时，PQ ∥BC.

（2）当

t为何值时，PQ ⊥BA.（3）如图，以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，①当 t为何值时，平行四边形 AQPD为矩形？②当 t为何值时，平行四边形 AQPD为菱形？师：请同学们谈谈解决以上问题的策略。生：问题（1）（2）先画图定位，抓住不变角，易

找到相似三角形，从而求解。（3）利用特殊四边形的性质，很容易得出△ APQ的相关性质。如平行四边形AQPD为矩形，即 PQ ⊥ AC;平行四边形 AQPD为菱形，即 PQ=AQ.

师：分析到位，感悟颇深。同学们在解题过程中，尽量做到以下三点：知识联想——性质的合理选择;思路调控——方向的准确选择;思维引领——方法的灵活选择。

师（结束语）：本节课，我们以师生合作交流的方式共同探究了动点运动形成有一个大小不变角的三角形的研究的有关问题，大家充分地体会到研究问题的一般方法，同时感悟到解决数学问题，知识是基础，思想是灵魂，方法是核心。解决问题时，我们要善用数学思想方法作为指导，根据给出的问题条件，灵活地、恰当地选择方法来解决问题。在数学学习过程中，希望同学会反思会总结，会探索会研究，以此提高学习效果，实现自我梦想和追求。

教学感悟

以问题编制为主要形式，在问题的设计中构建完备知识网络

数学大师华罗庚告诫学生读书有两个过程，第一个过程是“由薄到厚”，第二个过程是“由厚到薄”，專题复习课就是这里的“薄”，学生不再是一无所知，而是已经知道，且知道得十分精炼。专题复习课离不开题，但要把解题和知识梳理结合起来，为复习服务。

本节课，笔者在环节二设计了活动——合作探究编制问题，让学生在编制问题的同时自行梳理三角形的相关知识点、提炼方法、渗透思想，实现知识结构自我完善和方法体系的自我建构。

以解决问题为主要策略，在方法的选择中提升数学解题能力

动点问题的研究要善于“察题观图”，依据研究的图形特征去灵活地选择解题方法，进而避免计算走弯路。如“在点 P、Q在运动过程中，当 t为何值时，以点 A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？”的求解过程中，很多同学利用代数法把三角形三边先用 t表示出来，再根据等腰三角形的性质三边两两相等，构建三个方程。这种方法理论上可行，但是由于计算过程过于繁琐，导致学生最终半途而废。归其原因是学生形成了代数法求动态等腰三角形的思维定势。其实，观察△ APQ的变化特点，抓住∠ A的不变性，构造相似，这样思路更自然。

在解题的十字路口，教师要引导学生停下脚步，细心观察研究对象，深思熟虑后，再作出最优化的解题的方向。在遇到一题多解时，要引导学生对方法特点作出恰如其分的评判。在教学中，教师要给学生搭建开放性思维平台，充分调动学生的积极性，促进他们相互启发，活跃思维，

最终归纳出一些解题的策略。

以问题变式为主要手段，在思想的渗透中培养思维品质

数学思想方法对指导数学解题的作用是不可低估，其培养不是老师在课堂总结时强调一下就能轻松实现的，而是需要老师将其无时无刻渗透在解决问题的整个过程中。课堂上，对解题思路的分析、对解题方法的探寻，既要体现数学思想方法的引领作用，又要体现数学思想方法的指导价值。对于动点运动形成有一个大小不变角的三角形的研究，其基本思想方法是“统一”，其基本思路是借助相似，将已知条件和待求结论统一到边的关系上或统一到角的关系上，再借助相关的公式来解决，或通过作辅助线，构造三角形相似，实现问题的“转化”。

在教学中，笔者根据几何图形的性质特点灵活变式问题，既可以提高学生对题目的敏感度，又可以帮助学生养成良好的解题和学习习惯。此举措有效地提高了学生的分析问题和解决问题的能力，进而提升了学生的数学素养。

综上，专题研究课的有效性研究是一个需要不断探索、研究和完善的课题，活动过程的设计、典型例题的精选、问题变式的深远、策略方法的总结等等都是十分重要的教学环节。因此，教师在上专题复习课前，既要围绕复习内容的重点和难点，结合教材内容精心设计教学活动，以例题为载体展开教学，进而帮助学生梳理知识结构，建立方法网络;同时又要指导学生学会恰当选择解题方法，引导学生体会知识的发生、发展过程，进而提高学生的數学思维水平。只有这样，学生才能脱离题海，走向研究，学会学习，而我们的课堂才会精彩灵动、本真高效。

（太仓市第二中学）