浅谈《高等数学》中几种课堂教学设计

王言英 曹秀娟

摘   要：《高等数学》是大学阶段一门重要的基础课程，也是后续专业课程的基础。学习《高等数学》不是简单的背数学公式、解数学题，而是培养学生的逻辑思维能力、归纳推理能力，学会解决实际问题的能力的一种有效途径。为了有效地提高学生的这些能力，本文简单介绍了直观图表引入法、实际问题驱动法、数学建模案例法、从特殊到一般法等几种课堂教学设计。

关键词：高等数学  教学设计  能力

中图分类号：O172.1                                文献标识码：A                       文章编号：1674-098X（2019）09（b）-0200-03

Abstract： Advanced Mathematics is not only an important basic course at the university stage， but also the basis of subsequent professional courses. Learning Advanced Mathematics is not a simple way to memorize mathematical formulas and solve mathematical problems， but an effective way to cultivate students' logical thinking ability， inductive reasoning ability and learn to solve practical problems. In order to effectively improve these abilities of students， this paper briefly introduces several kinds of classroom teaching design， such as intuitionistic chart introduction method， practical problem-driven method， mathematical modeling case method， from special method to general method and so on.

Key Words： Higher mathematics; Teaching design; Ability

《高等数学》是大学课程中的一门重要的通识必修课，是一门非常重要又较抽象的课程，不仅是后续专业课的基础，而且可以培养学生的逻辑思维能力，运用数学知识解决实际问题的能力，创新能力等。根据多年的教学实践，以下几种课堂教学设计可以有效地提高学生以上各方面的能力。

1  直观图表引入法

在高等数学中第二重要极限，这个极限在经济问题中关于复利的计算、细胞的繁殖、放射性物质的衰变等方面都有很强的应用，但是这个极限很抽象，学生不易理解。若学生不能自主探索结果的发现过程，学生靠死记硬背的话，学生很快会忘记，并且学生也没有学会解决问题的一般思路。怎样引导学生发现规律，解决问题呢？本文尝试采用以下课堂教学设计。

1.1 通过计算，直观观察

首先引导学生利用Excel表格，计算随n的变化，并画出图像（见表1），引导学生觀察图形的规律。随着n的不断增大，越来越趋于一个常数。

1.2 证明极限存在

利用二项公式

比较可知：

利用极限存在准则II，知

1728年，瑞士数学家欧拉首先用e表示这个极限。e是自然对数的底，是一个无理数，其值为2.718281828459045，记为。

1.3 学以致用

最后，让同学利用今天所学知识解决问题问题。问题：设p0为本金，r为收益率，按复利计算，t年后的复利是多少？

为了加深这个极限的理解，首先引导学生通过自主计算，直观观察，发现规律;利用推理演绎证明规律;最后再探讨这个极限的应用。通过这种课堂设计，学生全程参与，是学习过程的主动者，培养了学生的学习兴趣，也培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

2  实际问题驱动法

在高等数学的学习过程中，也可以通过实际问题引出要讲的知识，比如，讲授“曲率这一节时，可以采用如下方式。

2.1 引入案例

案例1：根据物理学知识，讨论火车在轨道行驶时，道路的弯道应如何设计？

案例2： 工件内孔打磨需要选取合适的砂轮，若砂轮直径过小，功效低;若砂轮的直径过大，则出现过磨损的现象。请问砂轮的直径该如何选取？

2.2 讲授知识点

通过实际问题引起学生的兴趣，启发学生在实际问题中思考，接着教师引出本节的主题，曲率的定义和计算方法（具体内容见[1]）。

曲率是描述曲线弯曲程度大小的量。直线没有弯曲，K=0;半径为R的圆，每点的曲率相同。在直角坐标系下曲率公式为

2.3 解决实际问题

练习：我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线， 其中R是圆弧弯道的半径，l是缓和曲线的长度，且l R，求此缓和曲线在其两个端点O（0，0）和处的曲率。

解：

从实际问题中提出问题，然后分析问题、解决问题，让学生在经历解决问题的全过程，深刻领会数学知识的应用，从而培养学生的解决问题的能力、创新能力。学数学不再是搞题海战术、不是简单的背数学公式、解数学题。

3  数学建模案例引入

一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，在实际建模中有很强的应用。如何让学生理解为什么学，怎么学，怎么用的问题。在讲解知识以前首先抓住学生感兴趣的问题让学生思考。

3.1 问题提出

（减肥问题）设每天摄入的能量为A，每天基础代谢的能量消耗量B，每天由于运动所消耗的能量为R，脂肪的能量转化系数为D。求体重随时间变化的函数？

模型的建立：按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。

设W（t）∶t时刻人体的体重，体重随时间的变化是连续的。在t到t+Δt时间内，有

当Δt→0时，得到模型：即

3.2 讲授知识点

从数学建模案例中，引出本节课所要讲的知识点，一阶线性微分方程的基本形式及其解法，具体内容见[1]。

一阶线性微分方程的通解为

3.3 解决案例问题

令得到通解为

（C为任意常数）

若已知t0时刻人体的体重W（t0），可求出常数C，可以进一步分析。

从学生感兴趣的减肥问题入手，引出所要讲授知识，最后又用所学知识解决刚才的问题，实现了提出问题-分析问题-解决问题的全过程，提高学生解决实际问题的能力和创新能力。

4  从特殊到一般法

在高等数学的学习过程中，有很多的概念是很抽象又很重要的，比如导数的概念、定积分的概念。比如在导数的概念这节时，可采用教学设计如下。

4.1 引例

引例1：（变速直线运动的瞬时速度）设作变速直线运动的质点，它的路程规律是s=f（t），求在t时刻的瞬时速度。

解决问题的思路：（1）求在时间段内的平均速度

（2）当Δt→0时的极限就是t时刻的瞬时速度

引例2：求曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处切线的斜率。

解决问题的思路：（1）在曲线y=f（x）上取另一点

先求割线MN的斜率

（2）当Δt→0时的極限就是M点处切线的斜率

4.2 观察规律，抽象出概念

由引例1和引例2两个特殊问题，引导学生观察两者的共性是一种特殊形式的极限，是函数的增量与自变量增量比的极限。因此抛开具体问题，从“特殊到一般”抽象出导数的概念。

在高等数学中这种“从特殊到一般”的思维方法，是很普遍的，再比如在定积分的定义、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的定义中一直应用这种思维方式。通过这种学习，使学生学会这种解决问题的思想，提高自己的归纳总结能力，推理演绎能力等。

5  结语

教无定法，大学数学教学要摆脱题海战术，不再满堂灌，让学生参与到课堂的全过程，引导学生主动学习。根据所提出的问题主动思考，发现问题，分析问题，解决问题，提高学生发现问题的能力、学会解决问题的思维方法。这样使学生认识到高等数学的应用，提高学习的兴趣，变“被动学习”为“主动学习”。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 黄荣金，李业平. 数学课堂教学研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[3] 赵树源.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.