一题多问教学模式的作用和操作案例分析

☉湖北省武汉市常青第一学校 殷国俊

设置问题、解决问题是初中数学课堂上教师与学生沟通的主要途径，而训练学生一题多问，引导学生从不同的角度、不同方位进行不同层次的思考，是提高学生理解和应用能力的一种有效方法.但在平时的数学教学中，碰到的多数习题一般只要求解决单方面的问题，对知识和能力的考查比较片面，学生的思维得不到充分的训练.近年来，武汉市的数学中考在这个方面很好地起到了指挥棒的作用，解答题多采用一题多问、问问递进的呈现方式，考查学生综合运用数学知识的能力.如果广大初中数学教师在平时的教学中努力挖掘素材，将题目做适当的扩充和变式，采用一题多问的方式，把多个知识点用同一道题的背景有机结合起来，沟通多个知识点的内在联系，甚至在教学中鼓励学生在同样的条件下从多角度提问，创编习题，以开拓思路，培养学生的理解能力和解题能力，无疑对学生实际应用能力和创新能力的增强可以起到明显的促进作用.

一、一题多问的常规教学呈现形式

第一种呈现形式是把具有同一背景的问题进行收集、改编、整合，再按难度层次依次呈现.

引例：抛物线y=ax2-ax-8a+5经过点P（-2，5），交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，S△PAB=10，求抛物线的解析式.

这是九年级（上册）数学课本上一道习题的改编题，再将近三年来各级各类中考训练中以此引例为背景的习题进行收集、改编和整合，初步可以得到以下19个不同的小问：

（1）将抛物线沿对称轴向上平移k个单位后，与线段BC交于D、E两点，求k的取值范围.

（2）直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分S△CPQ，求k的值.

（3）若M为抛物线的顶点，点N在x轴上，S△BCN=S△BCM，求点N的坐标.

（4）设点P在第二象限内的抛物线上，S△POB=S△POC，求点P的坐标.

（5）G（2，y）是抛物线上一点，P是直线AG下方抛物线上一动点，当S△APG最大时，求点P的坐标.

（6）若点M在x轴下方的对称轴上，连接BM，将BM绕点M顺时针旋转90°得到PM，点P恰好在抛物线上，求点P的坐标.

（7）若直线y=-x-1与抛物线的对称轴交于点E，且点P在y轴的正半轴上，PE平分∠APB，求点P的坐标.

以上7问属于基础性问题.这类问题以基础知识的巩固和基本技能的训练为主，其涉及的知识点适合于目标为普高的学生，旨在培养学生最基本的数学思想和数学方法.

（8）过点A的直线交BC于点M，交抛物线于点N，若AM=2MN，求点N的坐标.

（9）平移直线y=-x交抛物线于M、N两点，若MN=BC，求平移后直线MN的解析式.

（10）若P为抛物线上一点，将CP沿AC的垂直平分线翻折，点P恰好落在y轴上，求点P的坐标.

（11）设P为x轴下方抛物线上一动点，连接PO、PC，将△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四边形POP′C为菱形，求点P的坐标.

（13）若点P在抛物线上，△APC为直角三角形，求点P的坐标.

以上6问属于小综合性问题.这类问题是以九年级知识框架为基础，把七、八年级与其有联系的相关知识纳入其中，可以加深学生对某一知识框架的全面、深入了解，提高综合处理能力.

（14）以B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于点P，若PC=PD，求点P的坐标.

（15）设抛物线的顶点为D，点P在坐标轴上，以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似，求点P的坐标.

（16）直线y=-x-1与抛物线交于另一点E，点G在抛物线上，点F在x轴上，若以A、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标.

（17）P为抛物线上一点，PM∥AC交x轴于点M，若四边形PMAC为等腰梯形，求点P的坐标.

（18）过点C作CB′∥x轴交抛物线于点B′，点P从点B′出发，以0.1个单位/秒的速度沿线段B′C向点C运动，点Q从点O出发，以相同的速度沿线段OB向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，则t为何值时，四边形BB′PQ为等腰梯形？

（19）将函数图像沿y轴翻折后，与原图像合起来，构成一个新函数的图像.若直线y=x+m与新图像有四个公共点，求m的取值范围.

这6问属于发展性问题.这类问题是为了培养学生的开放性研究能力而设置的，主要是一些对创造性方面有较高要求的题目.

二、一题多问的分层教学呈现形式

第二种呈现形式是对同一背景下同一个问题进行思路拆分，拆分成递进关系的若干小问.

还是以这个引例为例.

抛物线y=ax2-ax-8a+5经过点P（-2，5），交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，S△PAB=10，求抛物线的解析式.

在锚地式教学的前提下，将这个问题涉及的知识点和技巧、方法逐一设置成更小的问题，其目的有三，一是引导学生将解决问题的逻辑顺序理清楚，二是教师可以清晰地剖析此题涉及的知识点、技巧和方法，三是方便学生课后自学或归纳总结.

（1）是否选择将点P的坐标（-2，5）代入解析式y=ax2-ax-8a+5中？

（2）抛物线对称轴的解析式是什么？

（3）△PAB的底和高分别怎么表示？

（4）条件x1＜0＜x2有什么作用？

（5）如何确定A、B两点的坐标？

（6）要求出抛物线的解析式，需要代入几个点的坐标？

（7）用待定系数法求解析式时，是代入点A的坐标还是点B的坐标？

这19问可以做如下分解：

（1）将抛物线沿对称轴向上平移k个单位后，与线段BC交于D、E两点，求k的取值范围.

①抛物线向上平移k个单位后，解析式如何表示？

②平移后的抛物线与线段BC有两个交点的临界情况是怎样的？

③如何求出临界情况时k的值？

④如何用语言表述从初始状态到临界状态的过程？

⑤怎样确定k的取值范围？

（2）直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分S△CPQ，求k的值.

①直线y=kx-1经过哪个定点？

②怎样用排除法的观点确定P、Q两点的大致位置？

③几何条件y轴平分S△CPQ怎样转化成代数条件（坐标关系）？

④如何在联立求解的过程中植入韦达定理？

⑤求出的k值与题意和图形是否符合？

（3）若M为抛物线的顶点，点N在x轴上，S△BCN=S△BCM，求点N的坐标.

①根据图形能否直接确定△BCM的形状？

②如何求S△BCM最简便？

③怎样通过图形确定点N的大致位置？

④几何条件S△BCN=S△BCM可以转化成什么样的代数条件？

⑤如何用排除法确定符合题意和图形的点N的坐标？

（4）设点P在第二象限内的抛物线上，S△POB=S△POC，求点P的坐标.

①如何依据草图确定点P的大致位置？

②△POB和△POC有什么样的特殊位置关系和数量关系？

③几何条件S△POB=S△POC可以转化成什么样的代数条件？

④点P位于哪条直线上？

⑤如何求出点P的坐标？

⑥求出的点P的坐标是否需要取舍？

（5）G（2，y）是抛物线上一点，P是直线AG下方抛物线上一动点，当S△APG最大时，求点P的坐标.

①如何依据草图确定点P的大致位置？

②S△POB由哪些因素决定？

③如何构造同底等高的两个三角形？

④构造后的平行线与抛物线具有怎样的位置关系？

⑤这个位置关系如何用代数方式呈现？

⑥如何求出点P的坐标？

（6）若点M在x轴下方的对称轴上，连接BM，将BM绕点M顺时针旋转90°得到PM，点P恰好在抛物线上，求点P的坐标.

①如何依据草图确定点M、点P的大致位置？

②BM与PM具有怎样的数量关系和位置关系？

③可以联想到全等常用的哪个基本图形？

④如何构造全等？

⑤怎么用几何条件中的线段相等设出点P的坐标？

⑥如何求出点P的坐标？

（7）若直线y=-x-1与抛物线的对称轴交于点E，且点P在y轴的正半轴上，PE平分∠APB，求点P的坐标.

①怎样通过直线的解析式找到点E的位置？

②如何依据草图确定点P的大致位置？

③几何条件PE平分∠APB可以让你联想到哪些定理？

④由此还可以联想到全等时常用的哪个基本图形？

⑤如何构造全等？

⑥△ABE的形状是什么？

⑦四边形AEBP有怎样的特殊性质？

⑧这些特殊的性质中哪些与点P的位置有关？

⑨这些特殊的性质中哪一条可以用来求点P的坐标？

⑩如何求点P的坐标？

（8）过点A的直线交BC于点M，交抛物线于点N，若AM=2MN，求点N的坐标.

①如何依据草图确定M、N两点的大致位置？

②几何条件AM=2MN可以转化成坐标轴上哪些线段的数量关系？

③这个几何的数量关系怎样变成代数关系？

④这个代数关系怎样简化为点N的坐标？

⑤怎样求出点N的坐标？

（9）平移直线y=-x交抛物线于M、N两点，若MN=BC，求平移后直线MN的解析式.

①如何依据草图确定M、N两点的大致位置？

②题设给出直线MN的斜率为-1的目的是什么？

③线段MN与BC有着怎样的数量关系和位置关系？

④如何利用这种关系设出M、N两点的坐标？

⑤如何求出M、N两点的坐标？

⑥如何求出直线MN的解析式？

（10）若P为抛物线上一点，将CP沿AC的垂直平分线翻折，点P恰好落在y轴上，求点P的坐标.

①如何利用草图确定点P翻折前后的大致位置？

②怎样判断四边形ACPP′的形状？

③四边形ACPP′的边、角、对角线分别有怎样的数量关系？

④这些关系中哪些与坐标轴相关？

⑤能不能用其中的几何关系构造方程？

⑥对角线的交点坐标怎样确定？

⑦怎样利用对角线的交点坐标求点P的坐标？

（11）设P为x轴下方抛物线上一动点，连接PO、PC，将△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四边形POP′C为菱形，求点P的坐标.

①如何利用草图确定点P、P′的大致位置？

②菱形POP′C的边、角、对角线分别有怎样的数量关系？

③哪些关系可以转化为代数条件？

④如何利用这个代数条件设出点P的坐标？

⑤怎样利用规律设点法求点P的坐标？

①怎样找到点E的位置？

②如何求出点E的坐标？

③CE与SE的数量关系和位置关系如何？

④对称轴在图中可以起到什么作用？

⑤由此可以联想到相似中的哪个基本图形？

⑥如何构造相似？

⑦怎样简化点S的坐标的表示方式？

⑧怎样利用规律设点法求点S的坐标？

（13）若点P在抛物线上，△APC为直角三角形，求点P的坐标.

①如果∠A是直角，如何利用草图确定点P的大致位置？

②AP与y轴的交点起什么作用？

③可以联想到相似中的哪个基本图形？

④利用这个基本图形怎么求点P的坐标？

⑤如果∠C是直角，如何利用草图确定点P的大致位置？

⑥CP与x轴的交点起什么作用？

⑦可以联想到相似中的哪个基本图形？

⑧利用这个基本图形怎么求点P的坐标？

⑨如果AC是斜边，图形应该怎么画？

⑩怎样利用排除法的观点得到最后的答案？

（14）以B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于点P，若PC=PD，求点P的坐标.

①过点B且和BC垂直的直线在第一、四象限均可以形成直角三角形BCD.

②如何利用草图确定点D的大致位置？

③几何条件PC=PD会使你联想到直角三角形的哪条性质？

④这个性质会让你联想到怎样的辅助线？

⑤四边形ACPB的边和对角线有什么样的特殊关系？

⑥直线OP有什么特殊性质？

⑦如何利用OP的解析式求点P的坐标？

（15）设抛物线的顶点为D，点P在坐标轴上，以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似，求点P的坐标.

①怎么求△BCD三边的长度？

②如何确定△BCD的形状？

③△BCD中有没有特殊角？

④△BCD中三边的比值是多少？

⑤依据草图，点P的大致位置有几个？

⑥可以联想到相似中的哪个基本图形？

⑦用什么定理求解比较简便？

⑧求出的点P的坐标有多少个？

⑨这些点P是否需要取舍？

（16）直线y=-x-1与抛物线交于另一点E，点G在抛物线上，点F在x轴上，若以A、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标.

①如何通过草图确定平行四边形的大致位置？

②AE除了可以成为平行四边形的边，有没有可能成为对角线？

③以x轴为对角线的平行四边形有几个？

④以y轴为对角线的平行四边形有几个？

⑤点F、G的横坐标、纵坐标分别有什么关系？

⑥求出的点F、G的坐标是否需要取舍？

（17）P为抛物线上一点，PM∥AC交x轴于点M，若四边形PMAC为等腰梯形，求点P的坐标.

①如何通过草图确定M、P两点的大致位置？

②如何将等腰梯形的特殊性质表示成线段关系？

③依此可以联想到怎样的辅助线？

④如何将线段关系转化成坐标轴上的数量关系？

⑤如何将这个数量关系转化为坐标关系？

⑥如何将坐标关系转化为方程？

⑦求解方程后，怎样确定点P的坐标？

（18）过点C作CB′∥x轴交抛物线于点B′，点P从点B′出发，以0.1个单位/秒的速度沿线段B′C向点C运动，点Q从点O出发，以相同的速度沿线段OB向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，则t为何值时，四边形BB′PQ为等腰梯形？

①怎么求点B′的坐标？

②如何利用草图确定P、Q两点的大致位置？

③怎样用含t的代数式表示相关线段的长度？

④等腰梯形的哪些性质可以转化成与上述线段相关的几何条件？

⑤这个几何条件怎么用含t的等式表示？

⑥求出的t是否需要取舍？

（19）将函数图像沿y轴翻折后，与原图像合起来，构成一个新函数的图象.若直线y=x+m与新图像有四个公共点，求m的取值范围.

①原抛物线沿y轴翻折后的草图经过哪些特殊点？

②与直线y=x平行的直线何时与新图像有且只有一个公共点？

③这个临界状态如何用代数方式呈现？

④与直线y=x平行的直线何时与新图像有且只有两个公共点？

⑤这个临界状态如何用代数方式呈现？

⑥与直线y=x平行的直线何时与新图像有且只有一个公共点？

⑦这个临界状态如何用代数方式呈现？

⑧这三个临界状态联立方程组得到的m的值能否确定最终m的取值范围？

三、结语

一题多问除了对学生有巩固基础知识、训练基本技能、渗透知识框架、提升解题能力的作用，对教师也可以起到清晰剖析知识点、技巧、方法，提高课堂效率的作用.

经常做一题多问训练，有利于培养基础学生思路的逻辑性和严密性，有利于培养中档学生思维的发散性、创新性和对相关知识点的迁移能力；辅助教师剖析知识点和技巧、方法，提高课堂效率；分析学生能力瓶颈，找准患处，强化提高学生解决实际问题和应变的能力等，是适用于初中数学课堂教学的好方法.

当然，这样的素材需要数学教师不断挖掘整理，形成对日常教学和中考复习的训练体系，再加之实施过程中的持之以恒，必将让数学教学真正实现“人人都能获得需要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”.