数学概念的本质及概念的形式教学法

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(青岛实验学校)

隐藏在数学知识中的逻辑学贯穿于所有学科和现实生活，它渗透在各个行业领域的各个方面，无论是小到日常生活中的交际语言，还是大到专业学科的知识语言，逻辑学都是渗透在每个字里行间，束缚着行业的规范和语言的规范。

一、数学概念的本质

数学概念的内容是知识，其形式是命题，因此它的本质是知识的逻辑与命题的逻辑。知识的逻辑为所有教师和学生所知，而概念的形式即命题如何还原呢？其实，它可以还原成命题的基本结构：即条件加结论。它如同我们正常讨论时的语言，很多时候并没有那么明显地呈现出命题的形式。下面我以“相反数”为例进行详细说明。

相反数的概念：一般地，在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点的坐标互为相反数(opposite number)。

它可以还原成命题：如果在数轴上原点两侧的两个点到原点的距离相等，那么这两个点的坐标互为相反数。

问题1：“判断正误：如果在数轴上原点两侧的两个点坐标a和b到原点的距离相等，那么a和b互为相反数，即有a=-b(或b=-a)”。

逆命题：如果在数轴上原点两侧的两个点的坐标互为相反数，那么这两个点到原点的距离相等。

问题2：“判断正误：如果在数轴上原点两侧的两个点坐标a和b互为相反数，那么这两个点到原点的距离相等，即有|a|=|b|”。

否命题：如果在数轴上原点两侧的两个点到原点的距离不相等，那么这两个点的坐标不互为相反数。

问题3：“判断正误：如果在数轴上原点两侧的两个点坐标a和b到原点的距离不相等，那么a和b不互为相反数，即a≠-b(或b≠-a)”。

逆否命题：如果在数轴上的两个点的坐标不互为相反数，那么这两个点不在原点的两侧，或它们到原点的距离不相等。

问题4：“判断正误：如果在数轴上原点两侧的两个点坐标a和b不互为相反数，那么这两个点到原点的距离不相等，即|a|≠|b|”。

其中，毋庸置疑的是相反数的概念还原的原命题肯定是真，即问题1是正确的；其次，通过判断逆命题演变的问题2是正确的，所以逆命题为真；最后通过判断否命题和逆否命题演变的问题2和问题3是正确的，所以否命题和逆否命题也都为真。通过还原相反数概念的本质，学生对相反数概念的认识在不断强化，达到了对概念理解的融会贯通。

二、数学概念的形式教学

1.形式教学的意义

要回答形式教学的意义是什么，就要回答我们为什么要对数学概念进行形式教学。

原因一：数学概念的结构是命题的逻辑。

数学概念的形式教学法有利于在早期培养学生的逻辑思维能力和语言的思辨能力，严谨而全面。因为很多数学概念辨析的本质实际就是命题与命题间不断变换逻辑结构，要让一个学生步入社会后具备正常人与人交涉的能力，就要使得其具备逻辑思辨的能力，而不是只凭感觉经验来判断所有的是非。

另外，数学概念的本质形式是命题，且是真命题，而命题又可以转换为逆命题，所以数学概念的形式教学也有利于培养学生的逆向思维。逆向思维是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解决问题时，可以从条件或问题思维寻求解决问题思路的方法。

原因二：数学概念的逻辑结构往往是隐性的。

数学概念犹如我们日常的语言体系，它的逻辑结构并没有那么明显，很多人在讨论问题时只凭感觉经验来判断是非，于是出现了太多的非理性纷争。但是实际上，都违背了语言的逻辑，使得很多情节没有了纹理。在一定程度上将语言的逻辑结构显化，则有助于我们分析和解决问题。

原因三：所有问题都是概念的延伸。

不仅仅是数学，所有当下的学科问题都是各自学科概念的延伸，都是各自概念演变出来的，本质都逃不掉学生对于基础概念的理解，不管是知识的内容，还是形式的逻辑结构，万变不离其宗。只有抓住问题的本质，学生才能学得更加深入。

2.形式教学的方法

只有弄清楚数学概念辨析的本质是什么，我们才能继续研究概念形式教学的方法。在第一部分我们详细介绍了数学概念的本质，其实大体能推出形式教学的方法和步骤。

数学概念的形式教学的基本方法和步骤：

(1)学生能将概念还原成命题——学生要学会显化概念的逻辑结构。他们就要从概念中找出条件和结论，并用常见的因果关系关联词来联结，如“如果……那么……”“若……则……”等。

(2)学生能将原命题转换为逆命题，并举例判断真假，若为假，则能举出反例。

(3)学生能将原命题转换为否命题，并举例判断真假，若为假，则能举出反例。

(4)学生能将原命题转换为逆否命题，并举例判断真假，若为假，则能举出反例；较高层次的学习是学生能在逆命题的基础上将其转换为原命题的逆否命题，实际上逆否命题就是逆命题的否命题。

3.形式教学的建议

对于中学低年级学生，即初中生，他们的数理逻辑思维还没有发展到一定阶段，在这个阶段内，学生判断命题的真假几乎完全只凭对概念知识的理解，即“对概念的内容认知阶段”。在这个阶段内教师可以直接把概念还原后的形式呈献给学生进行辨析，强化对概念的理解。

在学完命题的结构、命题的真假和命题的几种形式后，初期阶段可以引导学生自行转换一些结构较简单的概念，如简单命题(又称直言命题)。在这个阶段，学生判断命题的真假还是几乎处在“对概念的内容认知阶段”。

在学完几种命题间的关系后，可以进行高级学习式的命题转换。在这个阶段，学生判断命题的真假可以局部借助命题的结构逻辑，在“对概念的内容认知阶段”基础上，结合“对概念的形式认知”来判断命题的真假。如这个阶段学生已经知道了逆否命题的真假同原命题的真假，否命题与逆命题同真假。

在学完联言命题与选言命题后，尤其是它们的否定形式，可以引导学生自行转换一些结构较复杂的概念，如复合命题(又称复言命题)。此时学生已经到了高年级学段。在这个阶段，学生判断命题的真假可以独立于“对概念的内容认知阶段”“对概念的形式认知”已经成熟，判断命题的真假可以理性选择对概念内容的判断或形式的判断。

三、结论

数学概念的本质是内容与形式的统一，知识是内容，其逻辑是形式，它可以还原成命题的基本形式：条件加结论。它如同我们日常的语言，很多时候并没有那么明显地呈现出命题的结构。

数学概念考查的素养是逆向思维和逻辑思维，因此，建议教师在进行概念教学时，应该先引导学生还原出概念的原命题，再考查命题的其他形式。同时，提醒生活中的大多数人在进行思辨时，语言要符合逻辑。

数学概念的形式教学并不是孤立的，它不是独立于概念的内容而教学的，学生对于数学概念延伸的命题进行正确判断需要兼顾对其内容的理解和对形式的逻辑判断。在针对低年级学生教学时，要以内容教学为主，到较高年级才能结合形式进行教学。