浙江专升本高等数学考试微分中值定理试题分析

董飞

摘  要：微分中值定理是高等数学教学与专升本考试的重点，该文分析了2005—2019年浙江专升本高等数学考试中需要应用微分中值定理解决的综合题，总结出了3类题型的解决方法，为浙江专升本学生提供参考。

关键词：专升本  微分中值定理  浙江  考试

中图分类号：O13    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）11（b）-0192-02

對于高职高专院校计划进入本科学习的毕业生，全日制专升本可以称为人生的第二次高考。自2005年起，浙江专升本开始由浙江考试院独立组织考试，报考人数逐年增多，而省重点建设高校却逐年减少招生计划以至停止招生，本科公办院校招生计划也在减少;与此同时，本科独立院校、民办院校招生计划逐年增加，专升本学生想进入一个好的本科院校难度越来越大。对于学习理工、经管、农学、医学大类的学生，高等数学则是必考科目。在专升本高等数学试卷中微分中值定理通常作为压轴题出现在最后一题。笔者通过对2005—2019年的浙江省高等数学试卷中的微分中值定理部分进行分析研究、归纳整理，希望对于浙江专升本的学生有所帮助。

微分中值定理是研究函数性质的重要工具之一，包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理[1]。关于微分中值定理的应用有一些学者进行过研究[2-3]，下面该文将通过真题实例给出微分中值定理在解决专升本数学综合题中的应用。

1  证明方程根的存在性

这类题目通常让证明“至少存在一点ξ∈（a，b），使得f'（ξ）+g（ξ）=0成立”，一般运用罗尔中值定理去证明。证明方程根的存在性，核心环节是根据结论构造辅助函数，下面是证明这类问题的步骤。

（1）从题目中“使得”后面的式子入手，将后面式子化为f'（ξ）+g（ξ）=0这种方程形式，等号的左边式子即为需要构造新函数导数在ξ处的值，即F'（ξ），把ξ换成得到F'，通过F'找其原函数，即为构造的函数。

（2）题目中一般给出“在（a，b）内至少存在一点ξ”，找出相应区间[a，b]。

（3）验证满足罗尔中值定理的条件，即在相应区间上连续、可导以及端点处相等3个条件。

例1（2005年浙江专升本综合题.2）已知函数，其中常数a、b、c、d满足a+b+c+d=0，证明函数在（0，1）内至少有一个根。

分析：要证明在内至少有一个根，首先会想到用零点定理，但将两个端点0和1带入并不能得到异号的两个值，零点定理不可用。看作某函数的导数，运用拉格朗日中值定理，构造的原函数，将两端点0和1带入值相等，可行。

证明：令。在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，又因为F（0）=F（1）=0。由罗尔中值定理可知，存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即f（ξ）=4aξ3+3bξ2+2cξ+d=0，证毕。

例2（2011年浙江专升本综合题.3）设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=2，证明：在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=2ξ+1成立。

分析：要证明f'（ξ）-2ξ-1=0在（0，1）上有根，因此构造此函数的原函数为辅助函数。

证明：令。在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，因为F（0）=f（0）-0-0=0，F（1）=f（1）-1-1=0，所以F（0）=F（1），所以由罗尔中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，又因为，所以存在ξ∈（0，1）使f'（ξ）=2ξ+1，证毕。

例3（2017年浙江专升本综合题.27）设函数在[0，1]上可导，且f（1）=0，证明：存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0。

分析：要证明ξf'（ξ）+f（ξ）=0在（0，1）上有根，因此构造此函数的原函数为辅助函数。

证明：令，因为在[0，1]上可导，所以在[0，1]上可导且连续，又因为F（1）=f（1）=0，F（0）=0，即F（0）=F（1），所以以由罗尔中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，，所以存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0，证毕。

结论：通过以上3道专升本真题，可以看出罗尔中值定理适用于证明导函数某点值为0的问题或者方程至少有根的问题。一般需要构造新的函数，而构造出来新的函数的导数等于结论等于0部分的函数，证明这类问题证明过程结构相似。

2  证明不等式

证明不等式是浙江专升本考试中一个重要的考试题型，可以利用辅助函数的单调性、函数图像的凹凸性以及微分中值定理来证明不等式。笔者通过对浙江专升本的真题研究，发现大多数不等式的证明需要运用拉格朗日中值定理，下面是证明这类问题的步骤。

（1）对不等式的式子进行变形，得出与拉格朗日中值定理形式一致的式子，式子分子为函数在两端点处的函数值的差，分母为端点处的差，以区间[a，b]上的不等式为例，寻找对应函数，分子为，分母为b-a。

（2）在题目中找出拉格朗日中值定理需要的条件，连续及可导。

（3）对函数求导，得出f';

（4）根据a<ξ

例4（2006年浙江专升本 综合题.1）设0

分析：不等式给出的区间[a，b]，根据不等式中间部分特点，需引入函数，后面根据拉格朗日中值定理便可证明不等式关系。

证明：设，n≥2，则在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，由拉格朗日中值定理可得，存在ξ∈（a，b）使得，即。因为a<ξ

例5（2009年浙江专升本 综合题.2）设函数在[0，1]上可导，且f（0）=0，f（1）=1，且不恒等于，求证：存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）>1。

分析：给定区[0，1]间，由于，并且不恒等于，用拉格朗日中值定理便可证明此题。

证明：由不恒等于，故存在∈（0，1）使得。若，由拉格朗日中值定理，存在使得，若，由拉格朗日中值定理，存在使得，证毕。

例6（2012年浙江专升本综合题.25）设a﹥b﹥e，证明：ab﹤ba。

分析：给定区间[a，b]，不等式两边作用对数blna﹤alnb，不等式两边除以ab，有，因此可以构造函数，然后在[b，a]上运用拉格朗日中值定理。

证明：设，∈（a，b），函数在[b，a]上连续，在（b，a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（b，a）使得，所以，又因为e﹤b﹤ξ﹤a，所以1-1nξ﹤0，所以blna-alnb﹤0，即blna﹤alnb，所以ab﹤ba，证毕。

结论：对于浙江专升本考试，在综合题中如果不等式的式子涉及端点的值以及函数导数的问题，大多数是根据拉格朗日中值定理去证明不等式，这里构造函数是重点和难点，如果不能简单的从不等式中看出，则需对不等式进行变形变换，进而找出。

3  涉及高阶导数的证明

对于浙江专升本考试，在综合题的证明中，如果涉及二阶及二阶以上导数的求解证明题，一般考虑采用泰勒中值定理。浙江专升本考试大纲中要求“理解泰勒（Taylor）中值定理”，因此涉及这方面知识点的题目相对来说比较简单，但要求考生能够写出泰勒中值定理的展开形式公式，进而带入公式写出相应函数。

例7（2014年浙江专升本 综合题.25）设，且证明：。

分析：题目条件给出函数二阶导数大于0，并且所要证明的是，考虑对进行泰勒展开出现f（0），…，进而比较两者大小。

证明：因为二阶导数存在，所以连续且有一阶导数，又因为，所以f（0）=0，由泰勒中值定理，得，，又因为，所以，证毕。

例8（2019年浙江专升本综合题.25）设在[-1，1]上具有二阶连续的导数，且f（0）=0，写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式。

分析：此题要写带拉格朗日余项就是利用泰勒中值定理写出相应公式，要求写一阶麦克劳林公式，则余项为带ξ的二阶导数。

解：由的泰勒中值定理，可得：

，

4  结语

在浙江专升本考试中，微分中值定理一般是作为压轴题出现在试卷的第四道大题即综合题里面，这一直是考试的重点与难点。通过统计我们发现，考试中最多、最常见的题型为方程根存在性的证明与不等式的证明，只要让学生多练习、多总结、多找其中的规律，就能够解决这类问题。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 孫学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2009，28（10）：61-63.

[3] 高遵海，吴党松.多个函数的微分中值定理[J].河南教育学院学报，2006，15（1）：33-35.