案例法教学在高校线性代数课题中的应用

王洁　贾睿

摘  要：线性代数是高校工科、经管各专业三大数学必修课之一，为学生后续学习提供有效支撑。由于线性代数课程的抽象性，在传统教学模式下，学生学习的兴趣和主动性不足，教学效果不理想。该文从教学实践出发，采用案例教学法，对传统的线性代数教学模式进行改革，突出线性代数的实用性，学生的平均成绩有所提升，取得较好的教学效果。

关键词：案例法  线性代数  实用性  教学效果

中图分类号：G642    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）11（b）-0168-02

线性代数被称为最有意思的数学课[1]，是教育部重点评估课程之一。它有很强的应用性，是解决经济、控制系统等问题强有力的工具，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，以及建立数学模型，求解实际问题能力都有很重要的意义。

1  线性代数课程教学现状

线性代数课程一般被安排在高等数学后面来讲授，与高等数学相比，线性代数更为抽象难懂。在具体应用背景下，学生理解和接受概念、性质等较为容易。而线性代数从开始就是一个又一个的抽象概念、定理，学生很难理解为什么两个矩阵相乘，不能像加法一样对应元素相乘。类似的问题困扰着学生学习的整个过程，产生链式效应，学习积极性逐渐降低。

有很多人认为线性代数是“为专业课提供数学基础”，是一个数学工具。但由于教师在教学中应用渗透意识不够，使其与专业知识或是生活实际衔接不连续，很多时候会导致学生出现“学时没兴趣，用时没掌握”的结果。案例法教学就是通过尽可能直观的例子让学生感受到线性代数的精华，体会到线性代数强大的实用性，能够学以致用，为后续学习打下良好的基础。

2  案例法教学的含义和特点

2.1 含义

案例教学法顾名思义就是将案例作为教学素材和基础，激发学生学习兴趣，增强学生在课堂上的主体地位，充分发挥学生的主观能动性。且能将书本的概念和理论知识与现实中的实际相结合，做到学以致用，是一种以培养学生学科核心素养为目标的重要教学方法。

2.2 优点

（1）生动形象，直观易学。将案例和所学的内容相结合，使被动地听讲变成主动地参与，理性的认知学习变成感性的实践学习，有利于调动学习的积极性和能动性。（2）教师引导学生，实时与学生互动。在案例教学过程中，以教师为主导，学生为主体，教学相长。在教学过程中通过引导、讨论可以做到师生互动、生生互动，并及时了解学生反应，掌握教学进程。（3）激发学生学习热情，培养创新能力。通过案例教学，可以让学生充分发挥学习积极性，并培养独立思考的能力。通过对比学习，加深对概念、定理的理解，引发深入思考，提升创新能力。

3  案例教学法中案例的选取原则

案例是案例教学的核心，为了达到教学目的，在案例的选取上主要遵循以下原则。

（1）与教学内容相结合，考虑学生专业特点。

（2）贴近生活，尽量与实际应用联系。

（3）简单、易懂，繁简适当。

（4）案例要有一定的综合性。

（5）案例在精不在多。

4  案例教学法在线性代数教学中的实际运用

好的案例不但可以激发学生学习兴趣，帮助他们加深对基本概念、性质、定理的理解，还可以巩固他们的基本计算能力，提高分析问题、解决问题的能力。

结合学校线性代数课程合班上课、学时少、进程长的特点，将案例教学设计为以下2个层次。

（1）课堂引导案例：这类案例以教师讲授为主，学生讨论为辅，重点在讲清概念、原理、分析解题方法及过程、得出结论，提高学生的理解能力。

（2）课外实践案例：以学生自我学习为主，辅导答疑为辅，重在应用，提高学生对知识的综合运用能力。

部分课堂引导案例和课外实践案例[2-5]设置如下所示。

①矩阵：成本核算问题、密码解密问题。

②n维向量：减肥配方问题、4个女生过桥问题（现代谜题）。

③线性方程组：投入产出问题、交通流问题。

④矩阵的特征值与特征向量：农业经济发展与环境增长模型、莱斯利种群模型。

⑤二次型：判断二次曲线形状、小行星的轨道模型。

以矩阵部分为例，首先创设情境，引入实例：

某厂生产3种产品，每件产品的成本及每季度生产件数如表1、表2所示，试提供该厂每季度的总成本。

其次让学生自我尝试，求解问题;再次教师适时点评，导入两个矩阵乘法的表示方法、定义;最后进行知识迁移，用新方法再次求解。在这个实例中，产品分类成本用矩阵表示，季度产量

用矩阵M表示，则每季度总成本可用矩阵P表示。从该矩阵可以看出，春季劳动总成本为40000元;夏季原材料、劳动及企业管理费三项成本之和为第二列元素之和21600+37400+25600=84600;这一年企业管理费的总成本为第三行元素之和;而矩阵中所有元素之和表示这一年的总成本。

通过这个实例，学生首先了解到数学对象的定义一般追求简洁，在思想上重视类比，但是矩阵及其运算核心在于“有用”。如果矩阵乘法定义为两个矩阵对应元素相乘，虽然简单好记，但却不好“用”。其次加深了学生对矩阵乘法定义的理解，更有助于掌握知识内容，为后期实际应用做好准备。

5  案例法教学在高校线性代数课程的实际运用效果

从教学效果看：通过课堂引导案例教学和课外实践案例自主学习，学生逐渐了解线性代数课程的实际应用价值，学习积极性明显提高，对知识的理解和掌握显著提升。在教学过程中，学生的创新精神、实际解决问题的能力和品质都得到了拓展，为其后续学习打下了夯实的基础。从考试成绩看：通过统计发现，采用案例法教学后，学生的平均成绩有所提升，特别是对于带有实际应用背景的问题，其得分明显高于采用传统教学法的得分，达到了该课程要求的培养研究和应用兼重的复合型人才的目标。

参考文献

[1] David C.Lay，刘深泉.线性代数及其應用[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2] 项立群，万上海.线性代数同步学习指导[M].上海：上海交通大学出版社，2008.

[3] 李尚志.线性代数精彩应用案例（之一）[J].大学数学，2006，22（3）：1-8.

[4] 邬学军，唐明.线性代数是蓝色的——大学非数学专业《线性代数》的课程设计[J].大学数学，2008，24（6）：12-16.

[5] 刘三明，李瑞.线性代数及应用[M].南京：南京大学出版社，2018.