浅析导数在高考数学中的应用

2019-01-29四川省攀枝花市第十九中小学校

卫星电视与宽带多媒体 2018年14期

关键词：原函数极值单调

四川省攀枝花市第十九中小学校黄超

一、导数基础知识

（一）导数定义

（二）导数的几何意义

函数y=f(x)在点a处的导数f'(a )，就是曲线y=f(x)在点p( a，b)处的切线斜率，即k=f'(a)。相应地，切线方程为y-f( a ) =f' (a) (x-a)。

图1

二、导数的基本公式

1.和、差、积、商的求导法则

(1)[f(x) ±g(x) ]′ =f′(x) ±g′(x)

(2)[f(x) ⋅g(x) ]′ =f′(x)g(x) +f(x)g′(x)

2.反函数的导数

1.利用导数图像分析函数的图像

分析函数的图像是高中阶段重要的学习内容，也是解决数学问题的一种重要方法。

例1，设f′(x)是=f(x)的导函数，y=f′(x)的图像如图1所示，则y=f(x)的图像可能是（）

例1利用导数图像分析出原函数的图像。y=f′(x)的图像在x＞2或x＜0的区域上f′(x)＞0，那么x＜0在或x＞2的定义域上f(x)是增函数；在0＜x＜2上函数f(x)是减函数。从而可以排除ABD选项得到此题的答案C选项。通过这个例子我们可以发现利用导数的知识来判断一些题目的图像是非常好用的。

2.利用导数求函数的单调区间

在高中阶段，函数的单调性一直是一个重点。利用导数不仅可以确定函数的单调性，还可以求出函数的单调区间。一般方法难以解决的题目，利用求导的方法可以轻松解答。

例2，设f(x) = 2x3+ 3x2- 2 4x+1，求函数f(x)的单调区间。

解： ∵f(x) = 2x3+ 3x2- 2 4x+1∴f′(x) = 6x2+ 6x-24

当f′(x)＞0时为增函数∴f′(x) = 6x2+ 6x- 2 4 ＞ 0

例2利用定义法确定该函数的单调性容易，然而要确定该函数的单调区间就比较困难。用求导的方法确定该函数的单调区间就比较简便。令函数的导数f′(x)＜0，则求出的解为原函数的减区间；令f′(x)＞0，则求出的解为函数的增区间。

3.导数与函数的极值和最值的关系

在高考数学中，极值和最值问题一直都是重难点。在解决这一类问题的时候，要求学生具备较高的解题能力。许多解决此类问题的方法都有一定的局限性，这里可以用导数，使得解题过程变得简单有序，也能使学生的解题过程具有严密的逻辑性。

令∴f′(x) =x2-x- 2 = 30解2得：x13=-1，x2= 2（驻点）

当f′(x) ＞ 0时x∈ (- ∞，-1 ) ∪ ( 2，+∞)当f′(x) ＜ 0时x∈(- 1，2)

∴x∈ (- ∞，- 1 ) 、(2，+∞)是函数单调递增区间x∈(- 1，2)是单调递减区间

所以：原函数在x1=-1处取得极大值f(x2)=-3

原函数在x2=2处取得极小值f(x2)=-3

最值：∵f′(x) =x2-x-2

当f′(x) ＞ 0时x∈ (- ∞，- 1 ) ∪ ( 2，+∞)当f′(x) ＜ 0时x∈(- 1，2)

∴x∈(- ∞，- 1 ) 、(2，+∞)是函数单调递增区间

例3为一道较为复杂的极值问题，此题用导数的方法，可以很快得出正确答案。学生只需要对该函数进行求导，然后找到其驻点，利用草图进行分析，从而确定该函数的极值点，再求出该函数的极值。许多类似的题目，用同样的方法可以确定该函数的极值以及最值。

4.利用导数判断函数奇偶性

利用导数不仅可以分析函数的单调性，也能分析函数的图像，同时还可以利用导数判断函数的奇偶性。在高考数学中，主要运用定理：“已知函数f(x)在定义域内可导，若函数f(x)为奇函数，则f'(x)为偶函数；若函数f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数。”来判断。许多题目用定义法判断其奇偶性比较困难，就可以利用该定理来解决。

例4：设函数f(x) = s in(ωx+ ϕ)，其中ϕ ＞0，则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是（f' (0) = 0）