恒(能)成立问题的正确转化

江苏省高邮市第一中学

黄鹏程 (邮编：225600)

河北省邯郸市第一中学马进才老师的《双变量的“任意性问题”与“存在性问题”辨析》[1]一文发表于《中学数学教学》2018年第6期(总第234期).不久前笔者刚好上过一节研究此类问题的专题课，因此，这篇文章引起了我的注意，阅读之后很有收获，不过文中有几处论述感觉有待商榷，现予指出，欢迎同行批评讨论.

为方便读者，现将原文摘录如下：

1 “∀x,使得f(x)>g(x)”与“∃x,使得f(x)>g(x)”的辨析

∀x,使得f(x)>g(x)，只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0

∃x,使得f(x)>g(x)，只需h(x)max=[f(x)-g(x)]max>0

商榷1文章的标题指明讨论的是双变量的的“任意性问题”与“存在性问题”，而结论1辨析的对象明显是单变量问题.

商榷2问题及结论中未给出定义域显然是不妥当的.

商榷3结论中将问题简单处理为“只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0”欠妥，理由是函数h(x)的最小值未必可以取到.

例∀x∈(0,1),2x>a-x2，求实数a的范围.

解首先将问题转化为“∀x∈(0,1),x2+2x-a>0”，但由于h(x)=x2+2x-a在(0,1)上为增函数，故h(x)在(0,1)上没有可以取到的最小值.这时便无法直接套用结论了.

实际上，我们在转化问题时首先应解决这“∀”、“∃”两个量词的含义，“∀”是全称量词，含义是“全部”、“所有”，“∃”是存在量词，含义是“存在”、“至少有一个”.

因此，第一个结论确切的转化应该是“h(x)的所有函数值均大于0”，若函数值域中最小值端是闭的，即有最小值“h(x)min”，则问题可进一步转化为“h(x)min>0”；若函数值域中最小值端是开的且为数值，为了区别，我们不妨称之为“理想最小值”，记为“h(x)min*”，则问题就应该进一步转化为“h(x)min*≥0”，这里需要注意的是，即使当h(x)min*=0时，由于h(x)min*实际不能取得，仍可保证“h(x)的所有函数值均大于0”.

第二个结论确切的转化应该是“h(x)的函数值中至少有一个大于0”，若函数值域中最大值端是闭的，即有最大值“h(x)max”，则问题可进一步转化为“h(x)max>0”；若函数值域中最大值端是开的且为数值，为了区别，我们不妨称之为“理想最大值”，记为“h(x)max*”，则问题可进一步转化为“h(x)max*>0”，注意结论不可以转化为“h(x)max*≥0”，因为当h(x)max*=0时，由于h(x)max*实际不能取得，所以“h(x)的所有函数值均小于0”，从而不能保证“h(x)的函数值中至少有一个大于0”.

值得注意的是，当问题中“严格的不等关系”变为“不严格的不等关系”时，结论还要作相应的调整，详见下文.

在笔者采用微探究[2]形式所上的专题课中，我和学生一起总结出含有量词的问题多与求参数的范围有关，解决此类问题的关键是：一要掌握量词的含义，二要把握好问题的类型.简单来说，有“∀”符号的是恒成立问题，有“∃”符号的是能成立问题，一类是不等式成立问题(为简明起见，下文仅列举大于型的不等关系)，另一类是等式成立问题.解决好单量词单变量求参数范围问题是进一步研究双量词双变量求参数范围问题的基础.现将单量词单变量求参数范围问题概括如下：

1.恒不等问题：

(1)∀x∈D,f(x)>m⟺f(x)min>m或f(x)min*≥m.

(2)∀x∈D,f(x)≥m⟺f(x)min≥m或f(x)min*≥m.

2.能不等问题：

(1)∃x∈D,f(x)>m⟺f(x)max>m或f(x)max*>m.

(2)∃x∈D,f(x)≥m⟺f(x)max≥m或f(x)max*>m.

3.能相等问题：

∃x∈D,f(x)=m⟺m∈A(设f(x)在D上的值域为A)

关于以上结论，有以下几点说明：

第1，不等关系既有“恒成立问题”，也有“能成立问题”，相等关系只有“能成立问题”.(相等关系恒成立问题通常是求参数的值，与本文讨论内容关系不大，故予排除)

第2，不等关系的求解策略可归结为“能大求最大，恒大求最小；能小求最小，恒小求最大”，注意：此口诀适用的不等关系模型中均应是“函数在前，参数在后”.相等关系的求解策略可归结为“研究函数的值域”.

第3，此类问题的解题策略其实都可以统一为“先求出函数的值域，再根据关系符号求出字母参数的范围”，从而完全抛却对结论的死记硬背和运用上的死搬硬套.也就是说在研究此类问题的转化时，要牢牢扣住量词本身的含义，而不必死记上述结论.不过，说明中的第二点(口诀)对于研究更为复杂的问题的正确转化非常有帮助，因此仍予列出.

第4，此类问题也可能通过研究函数f(x)的图象与直线y=m的位置关系直观解决.

下面举例说明如何研究更为复杂的双量词双变量问题的正确转化.为便于理解，我们可从最简单的情况研究起，不妨假定函数f(x)与函数g(x)均有可以取得的最大(小)值.

例如“∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)≥g(x2)”应该如何转化？

其实，我们可逐个来看，也就是说先看其中一个变量及其限定量词和相应的函数.比方说，先看x1，其限定题量词是“∀”，对应函数是f(x1)，这时暂且将g(x2)看作m，这时问题可简化看成“∀x1∈D1,f(x1)≥m”，根据口诀“恒大求最小”，即可得出问题可等价于“f(x1)min≥m”；然后将f(x1)min记为n，则问题可进一步转化为“∀x2∈D2,n≥g(x2)”，根据口诀“恒小求最大”，即可得出问题可等价于“n≥g(x2)max”.将两个方面联系起来，就可得出原问题最终可转化为“f(x1)min≥g(x2)max”.这种处理办法的实质是“化双为单”，“变多为少”，是数学里较为典型的减元(降维)思想，一下子使问题化难为易.

我们还可以继续思考在条件变化后的以下情况中，结论应作怎样的修改？

变1 如果函数f(x)只有“理想最小值”；

变2 如果函数g(x)只有“理想最大值”；

变3 如果函数f(x)只有“理想最小值”，同时函数g(x)只有“理想最大值”；

变4 如果将问题中的“≥”改为“>”；

变5 如果将问题中的“≥”改为“>”，分别加上变1-变3的条件；

双量词双变量的问题可以归结为以下类型：“任意-任意”型、“任意-存在”型、“存在-存在”型不相等问题；“任意-存在”型、“存在-存在”型相等问题.这些问题在马老师的文中多有论及，不复赘言.实际上，所有这些类型问题均可以参考上述做法将问题分解为两个单变量问题各个击破.

“不等(相等)关系恒(能)成立求参数范围”问题，其解决的核心要义在于问题的正确转化，马老师文中所给出的结论在不同情况下还要作相应的调整，其情形远不止文中所列出的这几个.个人的想法是与其要求学生花力气去记住几个并不通行的结论，倒不如和学生一起进行深入探讨，通过对问题的“深度学习”，掌握其解决的本质方法来得更好.正所谓“授之以鱼不如授之以渔”.一已之见，未必严谨全面，不当之处，敬请同行批评指正.