工科线性代数教学方法的思考

毛卫红 张正娣

摘 要：《线性代数》是中国大学工科专业的重要公共基础课之一，也是很多学生认为枯燥而且学不透彻的一门课程。文章从降低学习心理难度、提高学习兴趣出发，对其教学方式、方法做了浅显的探讨。

关键词：线性代数；教学策略；学习兴趣

作为大学工科专业的必修课，《线性代数》也是学习其他后继课程的重要工具之一。其主要研究内容是代数学中线性关系的经典理论，内容主要包括行列式，矩阵，线性方程组，向量组的线性关系，方阵的特征值理论以及二次型，线性空间（按照教学大纲属于选学内容）。概念的高度抽象性和定理的逻辑推理性是它固有的特点，这在一定程度上造成了学生在理解上的困难，不易掌握教学内容；再加上较少的教学时数以及庞大的计算量，《线性代数》成了一门比较难学好的基础课程。

经过多年的发展积淀，《线性代数》的教学内容、难易程度几乎是不可以改变的。因此，教学过程的策略与方法变得尤为重要。鉴于有限的教学时数和教学工具，通过多年的教学实践，笔者发现从如下思路和角度出发，在一定程度上会使学生对《线性代数》的学习变得不那么枯燥，甚至产生一定的兴趣，提高学习效率，也为后继学习做好铺垫和准备。

一、 引入方式的策略

《线性代数》最初是由解决线性方程组的问题而产生的，而且线性方程组的概念、解的存在性以及求解方法贯穿于本课程的始终。因此本课程的前面部分都可以围绕学生相对熟悉的线性方程组展开讨论，体会各种新概念产生的依据，即将行列式、矩阵、向量组等概念作为研究线性方程组问题的工具、方法和手段。例如，线性方程组的定义可联系矩阵的概念：决定线性方程组的系数和常数按照一定的原则做成的数表就是矩阵；利用高斯消元法求解线性方程组时用到的三种方法可联系矩阵的初等行变换的概念；同时可以明显地看到：矩阵的秩其实就是方程组中的有效方程的最少个数；最难以理解的概念——向量组的线性相关和线性无关，即考虑对应线性方程组是否含有多余方程的问题，对于齐次线性方程组而言，即考虑是否仅有零解的问题；而方程个数等于未知数个数的线性方程组的解的形式可联系行列式的概念。这样，线性方程组得到了全方位、多角度的诠释，更重要的是通过从已有的熟悉的知识出发，让学生从心理上降低了学习难度，不再排斥、抵触这门课程，自然而然地进入新课程的学习。

二、 几何工具的巧妙、合理应用

高度抽象是线性代数这门课的根本特点，将线性代数的概念用具体的、直观的几何形象加以解释，从而在一定程度上克服抽象性的困难和形式上的障碍，加强直观上的理解，建立感性思维，降低概念和定理在理解上的难度，达到提高教学质量以及学习效果的目的。例如，线性变换可转化为几何上空间中的点，也即向量的变换；正交变换就是保持空间图形几何形状不变的变换（也可以看作是向量的旋转变换）；对于矩阵相似对角化中用到的重要工具——特征向量，只从概念上理解很抽象，学生会觉得不知所云，但若用几何的观点解释，就会非常清晰、简单。以二维向量为实例，向量可以看作平面上的点，特征向量则可转化为在某种线性变换下与自身共线的向量，特征值即经过线性变换后特征向量的伸压系数；再比如，实对称矩阵的相似对角化即实二次型的标准化，而实二次型的标准化问题，以二元实二次型为例，即二次曲线的坐标系的变换问题，这样可易求得二次曲线的几何量，如椭圆的长、短轴等；对于向量组的线性关系问题，则可以结合平面上的共线或者空间上的共面问题进行教学。

三、 注重探究式教学以及与学生的教学互动

尽管学时较少，在课程教学过程中也不宜采用填鸭式教学，需注重探究式教学，即探索、讨论式教学，启发式问答，师生互动，有目的地引导学生积极主动思考，尤其是采用已有的知识，自然地获得新知识，达到融会贯通、举一反三的效果。这在一定程度上能激发学生的求知欲，也能培养学生的观察力和洞察力。例如矩陣的逆的定义、作用、存在条件都可以联系数的逆的相关知识；矩阵的初等变换可借鉴行列式的三大性质；根据高等数学中非齐次线性微分方程和对应的齐次线性微分方程的解的关系，会更容易理解和掌握非齐次线性方程组和对应的齐次线性方程组的解的关系。

教学互动不仅仅适用于中小学生，在重点、难点之处适当地提问、被提问，适时地请同学在黑板上做题同样适用于大学生，让学生参与到教学过程中，不仅有利于及时发现、处理课堂问题，同时可以让学生在思想上紧张起来，思维活动起来，知识也就自然地掌握起来。

四、 理论与实践适当地结合

俗话说，兴趣是最好的老师，而专业的数学教师相对缺乏对专业知识的了解及应用。同时，《线性代数》教材缺乏应用性，比较枯燥。教师如果通过身边的实例和合适的科技案例，通过建模等方式让学生初步接触到线性代数与丰富的实际生活的联系，不仅会加深理论知识的理解，而且有助于培养学以致用的能力。同时能拓宽学生的视野，活跃课堂气氛，增加教学的吸引力，提高学习兴趣，激发学生的学习热情。

五、 结束语

鉴于《线性代数》在实际应用中的重要性，在课时允许的情况下，其教学如果可以从侧重枯燥乏味的单纯的课程内容转向侧重培养数学素质和数学思维，提高逻辑思维能力与创新能力，最终提高解决实际问题的能力，将会更值得期待。

参考文献：

[1]朱琳，蒋启芬.国外线性代数的教学研究评述[J].数学教育学报，2018（27）：82.

[2]楼嫏嬛，马晓锐.对线性代数探究式教学的探讨[J].价值工程，2011（26）：172.

[3]张鹏鸽，高淑萍，马建荣.对比国外优秀教材 探索我国线性代数课程改革的新思路[J].大学数学，2010，26（1）：133.

作者简介：毛卫红，张正娣，江苏省镇江市，江苏大学。