高中数学教学中如何有效应用数形结合初探

云南省普洱市镇沅县第一中学 李新继

一、数形结合思想在高中数学教学中的地位

从高考命题中来看，近几年来，高考命题朝着多样性和多变性的方向发展，增加了一些转化的题型，重在考查学生对知识理解的准确性、深刻性、重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极向导，决定了数学教学中必须以数形结合思想指导知识、方法的应用，整体把握各部分的知识的内在联系。数形结合在每年的高考中应用比较多，如能从中发现图形和数量之间存在的关系，并准确画图，那么就能很快得出正确答案。

从知识形成的角度来看，利用数形结合，能够化抽象为具体，有利于数学概念的理解和记忆。主要体现为：

（1）利用数形结合，容易揭示数学概念的来龙去脉。

（2）利用数形结合有利于学生对知识本质的理解。

（3）利用数形结合，为概念赋予图形信息，帮助学生利用图形信息来理解记忆概念以及相关性质进行应用。如：在对函数的性质进行理解和记忆时，就在图象的基础上进行的，由图象的位置、最高点、最低点、对称性、上升、下降等，就能说出相关的定义域、值域、最大植、最小值、极值点、单调性、奇偶性等性质。

二、常用的几种数形结合方式

通过总结，常用的数形结合方式主要有一下几种：

（1）利用函数的图象数形结合

对于求不等式的解、关于三角函数的性质、函数的值域、最值问题等类型的题多采用此种数形结合方式。

（2）利用方程的图形数形结合

常见于求方程解的个数，不等式的解集以及满足某一不等式的自变量的取值范围等题型中。

（3）利用几何意义转化构造

以几何元素为背景建立起来的概念，如：复数、三角函数等，通常根据其几何意义转化构造。关键要善于用几何的眼光来观察分析代数式。

（4）利用集合的关系数形结合

对于一些集合的题目，通常可借助文氏图来求解。

（5）利用向量的知识数形结合

对于一些空间几何的题，通常建立直角坐标系来帮助求解。

因此，数形结合的方式有多种，可能对于有些题目可以用不同的方式来解，在教学过程中应怎样有效应用数形结合呢？

三、在教学过程中什么时候该采用数形结合

数形结合方法虽然是一种非常重要的数学思想方法，但在教学过程中应当在适合的时候采用。因此，教师在讲授数学知识的同时渗透数形结合，要把数形结合思想的教学精心设计在教学的适当环节中，如：在知识的发生、发展过程中、立体教学过程中，解题训练过程中，复习旧知的过程中等。

1.在概念的教学过程中应用数形结合

对于一些有几何背景的复杂概念，如果能充分利用数形结合，有助于概念的理解的记忆。

2.在解题教学中充分应用数形结合

（1）函数方面应用数形结合

在解题教学中，很多类型的题都可以用数形结合来解，而且速度快，效率比较高。在一般函数中，求函数的值域、最值问题中应用比较多，在这类题型中，多是给出了一些函数解析式或者自变量满足的某个方程等，求某一函数的最值。其中函数和方程大多都有明显的几何意义，作出它的图象，从图象中观察求出最值（其中最常见的是将最值问题转化为某一直线的斜率）。在三角函数中应用主要是从图象中来分析函数在某一区间的单调性.

（2）在不等式方面应用数形结合

在求一元二次不等式的解中，一般是由相应的一元二次方程的根确定函数与x轴的交点，通过观察图象得出其解。如果不应用这种方法，就要用取点法判断不等式的解集是取两边还是中间。

对于满足某一不等式的自变量的取值范围（如：log2(- x) ＜ x+1）这种形式的，通常把不等号左右两边的设为两个函数，根据图象中两个函数的交点来确定自变量的取值范围。

（3）在集合方面应用数形结合

对于一些题型,其中有几个事件同时包含一个事物,如：“35个同学同时有A、B两种书”等的问题，涉及到集合的关系，通常可以用文氏图来表示集合之间的关系。

小结：实现数形结合,常与以下内容有关：

（1）实现实数与数轴的点的对应关系；

（2）实现与图象的对应关系，常见于求函数的值域、最值问题中，其中三角函数是常见的一种；

（3）曲线与方程的对应关系，常用于求方程的解的个数，不等式的解集以及满足某一不等式的自变量的取值范围等。

但是，数形结合的方法不是万能的，它也有一定的局限性：（1）在数形结合的使用过程中，图形描绘的显然不能达到百分百的精确，特别是较为复杂的图形，给人造成一定的错觉，容易将我们局限在几何的圈子里，这样在解题时就很容易出错；（2）数式问题不一定存在简洁的图形背景，数形转化的技巧性较高，这对于在讲授课程中是一个难点；（3）并非每道题都可应用数形结合来求解，对于一些简单的题目如果采用数形结合的方法来解，可能会因为图形画得不精确等而出错。

因此，在面对具体的题目时，是用代数法还是用数形结合法，要进行具体分析，灵活运用，但一定要把数形结合法作为一种基本思路。主要考虑以下几个问题：（1）该题可以用数形结合的方法来解吗？（2）如果不用数形结合能不能简单的解决？（3）那种方法更简单？通过比较后选择比较简单的一种方法。

四、回顾与展望

这篇文章主要从概念教学、解题教学以及数形结合的五种方式来阐述高中数学教学中如何有效应用数形结合。通过这篇文章，在今后的数学教学中大体知道哪种类型的题适合用数形结合方法以及采用怎样的数形结合方式；当一道题可以用几种方法来解时，能快速的找到比较简单的方法，使得在今后的高中数学教学中合理、有效的应用数形结合。

由于种种原因，这篇论文写的不够深入，细致，还存在很多不足的地方，比如：对题型的归类不是很严谨；在数形结合的应用过程中，如何避免因它的局限性所带来的误导；在教学过程中如何将数形结合与教学内容衔接起来等问题。