重概念形成过程 促数学抽象落地——以二元一次方程组的概念教学为例

邢海秋

（广东省中山市西区初级中学）

概念的学习是一个抽象的过程.史宁中教授在《数学基本思想18讲》一书中指出：对于数学，抽象主要包含数量与数量关系，图形与图形关系两个方面的内容.这就是说，数学抽象不仅要抽象出所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.史宁中教授把具体数学概念的抽象过程分为三个阶段：第一阶段是简约阶段，就是把握事物关于数量或图形的本质，把繁杂问题简单化，并给予清晰表达；第二阶段是符号阶段，就是去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约的事物；第三阶段是普适阶段，就是通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律.他总结了数学概念抽象过程的三个阶段，强调了数学抽象的本质特征，认为数学研究的本身就是一种对数学抽象思想方法的应用.

抽象能力是数学思维的基础.学生对数学概念的理解直接影响数学思维活动的展开.在概念教学中，教师要注意引领学生深入理解并熟练掌握概念，让学生经历观察、分析、抽象、概括等思维活动，合理地抽象出数学概念.笔者以人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册“8.1二元一次方程组”（第1课时）的部分教学设计为例，谈谈自己如何在概念教学过程中培养学生的思维能力，提升学生的数学抽象素养.

一、分离要素，经历概念抽象的简约化阶段

问题情境是数学知识转化为核心素养的重要途径.数学与生活息息相关，在概念教学中，教师要联系生活实际，创设贴近学情的问题情境，在学生原有认知的基础上设置合理的问题，引导学生用数学的眼光观察问题、分离要素，分析要素之间的关系，进行数学抽象的简约化加工活动.

环节1：二元一次方程组的课堂导入.

篮球联赛问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队比赛10场，得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

教师通过提出一系列问题，让学生经历决定问题的要素——基本数量关系.问题列举如下.

问题1：上述问题情境中包含哪些等量关系？

问题2：如何用一元一次方程来解决问题？

教师通过这两个问题，引导学生从实际问题中抽象出简约的等量关系：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=总积分.通过问题激发学生主动思考，既引导学生复习了已经学过的一元一次方程的相关知识，同时也把繁杂的实际问题抽象为简单的数学问题.

问题3：对于这类含有两个未知量的问题，我们能不能直接设两个未知数x和y，使得列方程变得容易呢？

通过问题3引导学生从简化列方程的角度出发，从决定现实问题的两个数量关系出发，产生列二元一次方程的想法，从而引导学生经历分离问题的决定要素、分析要素之间的关系，体会列二元一次方程比列一元一次方程思考过程的简约性，从而得到决定二元一次方程组的基本要素，即由两个不同的数量关系决定两个未知数的值，使学生经历概念抽象的简约化阶段.

二、通过符号表示，经历概念抽象的符号阶段

数学符号是描述数学中各种数量关系的重要工具.数学符号是抽象的，往往学生会因为它的抽象不能理解符号表示.在概念教学中，教师在引导学生经历观察、分析、类比、归纳、概括等数学活动，从具体情境中抽象出数量关系或变化规律后，让学生体验使用数学符号表示概念的过程，感受符号化思想，促使学生理解概念与实际对象之间的联系，理解概念与相对应符号之间的联系，经历概念抽象过程中的符号表示阶段.为达到这一目标，教师要在符合学生认知的前提下，精心设计探究知识发生、发展过程的问题串，引导学生用数学符号表示出数学关系，学会用数学的语言表达问题，用数学的思维分析问题、思考问题和解决问题，经历概念抽象的符号阶段，促进学生数学抽象素养的形成与发展.

环节2：二元一次方程组的概念形成.

在概念形成环节，笔者设计了一系列的问题串，引导学生思考用数学符号表示从问题情境中分离出来的“两个未知数和两个等量关系”，从而得到二元一次方程组的相关概念.

问题1：如果设胜x场，负y场，根据问题中的等量关系，你能用方程表示出这两个等量关系吗？

通过问题1引导学生把实际问题转化为数学问题，从而用数学符号语言清晰地表示出数量关系x+y=10①，2x+y=16②，让学生感受二元一次方程概念的抽象过程.

问题2：类比一元一次方程的特征，观察方程①②具有什么特点？

问题3：把这两个含有相同意义x，y的方程合在一起，组成一个方程组，类比二元一次方程的特点，观察这个方程组又有什么特点呢？

通过问题2和问题3让学生体会两个方程之间的关系，通过观察得到二元一次方程组的特征，并用文字语言表示出二元一次方程组概念的本质.

通过这样一系列的问题设置，去掉了实际问题背景，利用符号语言将从问题中抽象出来的“两个未知数及两个等量关系”清晰地表述出来，形成二元一次方程组，并用符号表示出二元一次方程组，用文字语言表述出二元一次方程组的概念，经历概念的抽象过程.因此，在概念课堂中，教师要注意引导学生用符号语言表示抽象出来的等量关系，用文字语言表述出概念的本质，让学生体验概念抽象过程的符号阶段，从而促进学生抽象思维的形成.

三、感悟数学思想方法，经历概念抽象的普适阶段

数学核心素养既依托于数学知识与技能，又高于数学知识与技能，在数学思想与方法之上，是数学思想与方法的上位概念.数学是研究概念的，但数学不只是研究概念，更重要的是研究概念之间的关系.数学概念是数学思想与方法的载体.在概念教学中，教师不能直接把一些文字、符号、概念、性质等告诉学生，让学生死记硬背，要让学生在探究知识的过程中重视对数学思想方法的渗透.正所谓：授人以鱼，不如授人以渔.

环节3：二元一次方程组的解.

问题1：能不能找到满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值呢？

问题2：如果不考虑实际意义，二元一次方程x+y=10还有其他的解吗？

问题3：如何找到同时满足方程x+y=10①，2x+y=16②，且符合实际问题的x，y的值呢？

通过这三个问题的设置引导学生去研究二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程组的解这四个概念之间的联系.这个过程就是培养数学抽象素养的过程.在概念教学中，教师重点在培养学生对概念的梳理能力，并且这样的梳理不仅限于本节课的内容，更体现了初中阶段研究方程的方法与思想，形成方程组概念的体系.在今后的学习中，学生能自然而然地对这部分的概念有一个全面的认识，能够清晰地理解各个概念之间的联系与区别.这样不仅反映了本节课所学内容中几个数学概念之间的关系，更蕴涵了丰富的数学思想方法，也潜移默化地让学生将这些思想方法运用到解决其他数学问题中，完成概念抽象过程的普适阶段.

教好数学是落实数学学科核心素养的关键.什么是核心素养？核心素养中的“关键能力”的核心和基础就是认知能力，尤其是思维能力和思维习惯.在概念教学中，教师的关键任务是以具体、典型的问题为载体，构建一系列的数学思维活动，引导学生进行有逻辑地思考，完成由实际问题背景到数学问题的正确转化，用数学符号表示出相应的等量关系，展示分析各事例的属性，抽象、概括出共同的本质属性，归纳、概括出概念的一般本质，形成概念的体系，经历数学概念抽象的简约阶段、符号阶段、普适阶段，让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，促进数学抽象素养落地生根.