高等数学在建筑学中应用探究

洪小飞

河南省新郑市中华北路郑州工业应用技术学院 河南 新郑 451100

数学与建筑学的结合使建筑更完美。几千年来,数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源,也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术的手段。

下面我们列出一部分长期以来用在建筑上的数学概念：如,角锥、棱柱、黄金矩形、视错觉、立方体、多面体、网格球顶、三角形、毕达哥拉斯定理、正方形、矩形、平行四边形、圆,半圆、球,半球、多边形、角、对称、抛物线、悬链线、双曲抛物面、比例、弧、重心、螺线、螺旋线所、椭圆、镶嵌图案、透视等等。而这些概念在建筑中随处可见,运用得如此之深之广泛,让人惊叹。

影响一个结构的设计的有它的周围环境、材料的可得性和类型,以及建筑师所能依靠的想像力,智慧,还有数学能力。而回望过去,历史上不乏很多体现数学光芒的例子,下面列举一些,而这些也只是其中很少很少的一部分。①为建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而计算石块的大小、形状、数量和排列的工作,依靠的是有关直角三角形、正方形、毕达哥拉斯定理、体积和估计的知识。②秘鲁古迹马丘比丘的设计的规则性,没有几何计划是不可能的。③希腊雅典的巴台农神庙的构造依靠的是利用黄金矩形、视错觉、精密测量和将标准尺寸的柱子切割成呈精确规格(永远使直径成为高度的1/3)的比例知识。④埃皮扎夫罗斯古剧场的布局和位置的几何精确性经过专门计算,以提高音响效果,并使观众的视域达到最大。⑤圆、半圆、半球和拱顶的创新用法成了罗马建筑师引进并加以完善的主要数学思想。⑥拜占庭时期的建筑师将正方形、圆、立方体和半球的概念与拱顶漂亮地结合在一起,就像君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中所用的那样。⑦哥特式教堂的建筑师用数学确定重心,以构成一个可调整的几何设计,使拱顶汇于一点,将石结构的巨大重量引回地面,而不是横向引出。⑧文艺复兴时期的石结构显示出对称方面的精心设计,它是依靠明和暗、实和虚来实现的。

数学与建筑学本身就是美的。罗素说过,数学“不仅拥有真理而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美,就像一尊雕塑……它可以达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学的美是抽象的、简洁的和内在的。数学的美对艺术的美有一种永恒的激励作用。1.黄金分割和建筑、艺术所谓黄金分割就是一条线段被分割成两段,其中较长者正好是较短者与整个线段的比例中项。设较长一段的长度为,应有,于是有可解得。在漫长的历史中,人们发现黄金分割可以反映客观世界的某种和谐性。客观世界中许多事物若符合黄金分割的比例,就会令人有一种赏心悦目的感觉。例如,金字塔原来高146m,底边宽132 m,两者之比非常接近黄金分割之比;雅典的巴特农神庙,其正面以及柱、檐各部分的高宽比都符合黄金分割。另外,英国的圣保罗大教堂、温莎城堡,伊拉克巴格达城门,中国长城等在建筑时都用了黄金分割。2.中岳嵩山在河南省登封市境内,雄伟挺拔。在嵩山南麓,有一个古庙,叫做嵩岳寺。寺内有一座宝塔,名嵩岳寺塔。是我国现存最古老的砖砌佛塔。嵩岳寺塔的底面是正12边形,塔身为抛物线形。在全国现存的占塔中,12边形宝塔已是独一无二,再加上抛物线形侧面,就更为别致了。嵩岳寺塔建于公元523年(北魏)。塔身有15层,高约40米。第一层外形是正1 2边形,从第二层开始改为正8边形,底层直径10.16米,往上各层尺寸分别按适当比例收缩,使塔的侧面轮廓成为流畅的抛物线形。

另外,数学知识还广泛运用于建筑学计算中。

(1)一元一次不等式的应用举例：劳动生产率的计算,钢筋锚固长度的确定,配料允许范围的计算。例如：某工程的混凝土计划每立方米用水泥320公斤,施工配料于要求的允许偏差不超过2%。问配制每一立方米混凝土水泥用量的允许范围为多少? 需要用一元一次不等式来解。

(2)斜三角形边、角计算的应用举例：吊装钢索内力的计算、屋架有关长度的计算、三角形地块面积的计算。例如吊装的钢索内力的计算。建筑工地上常用两个定滑轮共同吊起一个重物。用这种方法既能把重物作上,下运动,又易于把重物向左、右移动。如果已知两根钢索与铅垂线的夹角分别为30度和45度,物体的重量为1000公斤,求两根钢索所受的拉力用到了正弦定理。

(3)建立函数关系的举例：梁的支座反力与梁上荷载作用位置的函数关系、吊车吊臂长度与吊臂张角的函数关系运用数学解决实际问题时,必须掌握问题中出现的变量的变化情况以及它们之间相互联系和相互制约的数值对应关系,也就是需要建立函数关系。实际问题是多种多样的,建立函数关系式也没有一个统一的方法,必须具体问题具体分析。通常,先分析所给问题中的数量关系,确定自变量与因变量,并用字母把它们表示出来,再根据问题中所给的条件,运用数学,物理、力学等方面的知识,确立等量关系,从而列出函数表达式。

(4)二次函数与抛物线的应用举例：抛物线拱的计算、梁的弯矩图的绘制。抛物线拱的计算所谓抛物线拱,就是由抛物线弧构成的拱,其中抛物线弧的水平长度称为抛物线拱的跨度,常用I表示,抛物线弧的垂直高度称为抛物线拱的矢高,常用f表示。由于抛物线拱具有力学性能好、省材料等优点,所以广泛地应用于土木工程中,如抛物线拱屋盖(或屋架)、抛物线拱桥等。梁的弯矩图的绘制在结构内力分析中,经常用到二次函数。

(5)函数图形凹向判定法与函数图形的描绘用于荷载作用下梁挠曲线的形状分析。函数图形的凹向这个概念,在分析钢筋混凝土梁在荷载作用下的弯曲变形时,是个很有用的概念。当梁向上凹时,梁的轴线下部受拉,上部受压,这时梁内承受拉力的钢筋就应设在梁的下部,当梁向下凹时,梁的轴线下部受压,上部受拉,这时梁内承受拉力的钢筋就应设在梁的上部。

(6)最大值、最小值问题的应用举例：制作容器的最省材料问题、圆木加工的最大承载能力问题、结构吊装的最大高度与最小臂长问题。在建筑工地上,有时会遇到这样的问题：根据施工用水的需要,想创作一个容积一定的开口水池,问如何选择形状与尺寸,使所用的建筑材料最省。结构吊装的最大高度与最小臂长问题在建筑工地上,经常用吊车把建筑构件吊装到预定的位置上去。这时会遇到下列两个问题：(a)当吊车的型号一定,建筑构件的尺寸一定,问能否把建筑构件吊到预定的高度? (b)当建筑构件的尺寸一定,吊装的高度一定,问某种型号的吊车能否把建筑构件吊上去。

(7)弧长的微分与曲率用于直梁弯曲程度的计算。仅仅讨论了函数图形的弯曲方向——凹向,但还不够。例如,在外力作用下,梁会发生弯曲,弯曲到一定程度,就可能影响使用(对于吊车梁,会影响天车的往返行驶),甚至发生断裂。因此设计梁时必须考虑梁在荷载作用下弯曲的程度。用到了曲率的计算。

(8)平面图形面积与一些立体体积的计算举例：圆台体体积计算、拟柱体体积计算,抛物线牛腿形混凝土块的体积计算。平面曲线的弧长与旋转曲面侧面积的计算举例：抛物线拱屋盖的长度计算、椭圆薄壳基础中椭圆形钢筋的长度计算、双曲线冷却塔通风筒的侧面积计算。这些都是定积分的应用。

高等数学教学内容改革不仅使数学知识与各专业充分联系起来,还可以激发学生的学习兴趣,还可以提高学生学习的积极性与主动性。使看来十分枯燥的数学内容与丰富多彩的外部世界之问架起桥梁。事实上,这种教学内容改革的思想的渗透可以把数学知识和数学应用穿插起来,这就不仅能增强数学知识的目的性,增强学生的应用意识,而且也将在填补数学理论与应用的鸿沟上起到很大作用。