中国剩余定理的另一证明

邓凌云

（贵州财经大学管科学院城市管理专业2015 级，贵州 贵阳 550025）

国外把我们的孙子定理称为中国剩余定理（The Chinese Remainder theorem）。 它的具体内容为：m1,m2,…mn是n 个两两互素的正整数，则同余式组x=a1(mod m1),x≡a2(mod m2)，…，x≡an(mod mn)有唯一解，modm,m=m1m2…mn。这里 modm 是指在模 m 的一个完全剩余系中， 如0，1，2，…，m-1 是模m 的一个完全剩余系。

孙子定理可以用数学归纳法证明，如文[1]、[2]。更多的是用构造法具体给出同余式组的解， 再证明唯一性，如文[3]、[4]、[5]。 本文打算用整体思维的方法，给出一个存在性的证明（包括唯一性）。

要 证 明 孙 子 定 理， 只 需 证 明： 当0 ≤ai≤mi-1，i=1,2,…,n 的情况，结论成立即可。

首 先， 我 们 很 容 易 看 出0，1，2， …，m-1 这m 个数， 每 个 数 必 满 足n 个 同 余 式 组x ≡b1(mod m1)，x ≡b2(mod m2)， …，x ≡bn(mod mn)， 这 里b1,b2, …bn分 别 是0，1，2， … ，m1-1；0，1，2， … ，m2-1； … ；0，1，2， … ，mn-1 中的某一个数。

其次，我们可以证明在0，1，2，…，m-1 这m 个数不可能有两个数同时满足同一个同余式组。 否则，有两 个 数x1，x2，x1

从以上两个方面， 我们可以根据用反证法证明的类似于抽屉原理的命题 “把m 个物体放入m 个抽屉里， 每个抽屉最多放一个， 那么每个抽屉恰好有一个物 体。 ”得 出：m(=m1m2…mn)个 同 余 式 组x ≡b1(mod m1)，x ≡b2(mod m2)，… ，x ≡bn(mod mn)，其 中b1通 过0，1，2，…，m1-1；b2通过0，1，2，…m2-1；…；bn通过0，1，2，…，mn-1，每个同余式组恰好有一个解在0，1，2，…，m-1 中。

这就证明了：若m1，m2，…，mn是n 个两两互素的正整数,则对任意的n 个整数aj，0 ≤ai≤mi-1，i=1，2，…，n，同 余 式 组x ≡a1(mod m1)，x ≡a2(mod m2)，…，x ≡an(mod mn)有唯一解mod m。 很明显，对一般ai取消限制条件0 ≤ai≤mi-1 定理也成立。