粘性Cahn-Hilliard方程的指数吸引子

曹伯芳， 姜金平， 曹兰兰

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

Cahn-Hilliard方程用以描述物理、化学中的二体相变问题，关于Cahn-Hilliard方程已有大量的研究，文献[1]证明了黏性Cahn-Hilliard方程弱解的唯一性，文献[2]证明了粘性Cahn-Hilliard方程在H1中的弱解的存在性.文献[3-6]讨论了Cahn-Hilliard方程的相关吸引子的存在性.本文在文献[3]的基础上，进一步研究以下粘性Cahn-Hilliard方程的指数吸引子的存在性：

ut+Δ2u-δΔut=Δfu,x,t∈Ω×0,

u=Δu=0,x,t∈∂Ω×0,

(1)

ux,τ=uτx,t>τ0

其中Ω⊂Rnn≤3是具有光滑边界的有界区域，这里δ>0是粘性系数，fu是首项系数为正的奇次多项式：

(2)

并且存在正的常数C1,C2,l满足：

fuu≥-C1

(3)

fu≤C21+up

(4)

f′u≥-l

(5)

1 预备知识

定义1[7]半群St在B中是Lipschtz连续的,如果存在不依赖于u,v的局部有界函数φt,使得

‖Stu-Stv‖Ω≤φt‖u-v‖Ω,∀u,v∈B⊂V

(6)

成立

‖Stu-Stv‖≤δ‖u-v‖

(7)

或者有

‖QMStu-Stv‖≤‖PMStu-Stv‖

(8)

成立.

引理1[8]如果半群St:V→V存在吸收集B⊂V及紧的全局吸引子A,并且半群St在B中具有Lipschitz连续性和挤压性，则半群在V中存在指数吸引子.

2 指数吸引子的存在性

由文献[3]可知,问题(1)对应的解半群S(t)在V中存在有界吸收集B和全局吸引子A,故由引理1,只需证明S(t)满足Lipschitz连续性和挤压性即可得指数吸引子的存在性.

引理2 设f满足(2)～(5)式，ut和vt是问题(1)的两个解，初值分别为u0和v0∈B,则

‖ut-vt‖≤e2d0t‖u0-v0‖

(9)

即解半群S(t)在B中具有Lipschitz连续性.

证明： 令wt=ut-vt，则由(1)可得

wt+Δ2w-δΔwt=Δfu-fv

(10)

w作用于上式两端有

(11)

又因为

(12)

将(12)式代入(11)式，得

(13)

(14)

(15)

利用Gronwall引理，得

‖wt‖2≤e2d0t‖w0‖2

(16)

引理3 设f满足条件(2)～(5)，ut和vt是问题(1)的两个解，初值分别为u0和v0∈B,则解半群St在B中具有挤压性.

证明： 记A=-Δ,设A在V中的特征值为λii=1,2,···，满足0<λ1<λ2≤λ3≤···,λi→(i→).用wi表示特征值λi对应的特征向量，则wi构成V中的一组标准正交基，同时也是H中的一组正交基，并且满足Awi=λiwi,记

HM=spanw1,w2,···,wM

对任意的w∈V有如下的正交分解:

(17)

其中PM:V→VM是正交投影

将试验函数q作用于(10)式，得

(18)

因为

l‖w‖‖

(19)

(20)

(21)

对(21)式使用Gronwall引理，有

‖q‖2+δ‖

若‖QMwt‖≤‖PMwt‖，则挤压性自然成立，故只需验证‖QMwt*‖≥‖PMwt*‖t*>0.

假设‖QMwt*‖≥‖PMwt*‖t*>0.利用(17)式，有

‖wt*‖2=‖PMwt*‖2+‖QMwt*‖2≤2‖QMwt*‖2

因此

即

挤压性得证.

由引理2和引理3，可得如下结果.

定理设f满足(2)～(5)，则解半群St在V中存在指数吸引子.