中低速磁浮车辆-轨道-桥梁垂向耦合振动仿真分析

任晓博,赵春发,冯 洋,张宇生

(西南交通大学牵引动力国家重点实验室,成都 610031)

中低速磁浮交通具有绿色环保、安全性高、线路适应性强和乘坐舒适等优点，近年来在中、日、韩等国得到快速发展。目前，我国已建成并开通运营长沙磁浮快线和北京地铁S1线，广东清远、成都和太原等地也正在规划建设中低速磁浮线，中低速磁浮交通已进入产业化和工程推广应用的关键期，急需针对其工程应用中出现的问题开展深化研究[1]。例如，国际上已商用的中低速磁浮线上列车的运营速度不超过100 km/h，但在试运营期间都曾出现过强烈的车轨耦合振动问题。尽管后期通过调整悬浮控制参数或强化线路结构等措施减缓了车轨耦合振动，但并没有完全了解磁浮车轨耦合振动机理和特征，导致减振措施的制定和实施仍缺乏足够的理论指导。

国内外学者很早就开展了磁浮车轨耦合振动研究，文献[2-4]回顾了20世纪后半叶国内外磁浮车辆与轨道系统动力学研究工作，指出早期研究中简化或忽略电磁悬浮控制系统，轨道梁采用简单的伯努利-欧拉梁模型，研究成果为磁浮车辆与轨道结构方案设计提供参考。21世纪以来，随着磁浮交通工程化应用开发，学者们建立了更细致的车辆与轨道动力学模型，用于预测和评估磁浮车轨耦合振动。文献[5-6]采用等效线性化电磁力模型，开展了磁浮车轨耦合振动研究，分析了轨道梁跨度和刚度对列车动力性能的影响。文献[7]考虑电磁悬浮反馈控制规律，建立了中低速磁浮车辆三维动力学模型，分析了磁浮车辆的曲线通过性能。文献[8-9]完整考虑了包括滤波器、观测器和控制器的电磁悬浮控制系统，建立磁浮车辆-控制器-轨道梁动力学模型，研究了磁浮车轨耦合振动响应特性。文献[10]分析了位置和速度时滞反馈控制条件下中低速磁浮车轨系统的分岔和共振行为。结合株洲中低速磁浮试验线和长沙磁浮快线工程，文献[11]建立磁浮列车-桥梁竖向耦合模型，对比了轨道梁仿真结果与实测结果；文献[12]采用SIMPACK软件和ANSYS软件联合仿真，分析了F轨对磁浮列车与桥梁耦合振动的影响。上述研究表明，电磁悬浮控制使得车辆与轨道形成既不接触、又不分离的非线性动力系统，要准确模拟工程中出现的磁浮车轨耦合振动现象，建立符合实际的车辆模型、悬浮控制模型和轨道结构模型非常重要。然而，目前大多数已有研究没有建立完整的悬浮控制模型，没有考虑或简化了轨道梁上部的轨排结构，而这两者对磁轨动力作用有直接而重要的影响，不可忽视。例如，轨排结构中的F轨内侧翼板通过螺栓与轨枕连接，外侧磁极面承受电磁力，这相当于一个悬臂结构，受弯矩作用后磁极面将出现明显的竖向振动，并影响磁轨动力作用，需要在车轨耦合模型中进行更细致的建模。

以长沙磁浮快线五转向架磁浮车辆和25 m简支梁为对象，采用ANSYS参数设计语言APDL，建立考虑F轨悬臂结构和轨缝伸缩接头的磁浮轨道和轨道梁上部结构有限元模型，以及12个自由度的磁浮车辆垂向动力学模型和基于状态观测器的PD悬浮控制模型，编制了磁浮车辆-轨道-桥梁垂向耦合动力学数值仿真程序，计算车速80 km/h条件下磁浮车轨桥系统动力响应，并与已有文献的试验结果进行对比验证，分析磁浮车轨桥垂向耦合振动响应基本特征，为中低速磁浮交通技术的优化与提升提供理论支撑。

1 车轨桥垂向耦合动力学模型

1.1 车辆动力学模型

图1 中低速磁浮车辆转向架结构

长沙中低速磁浮列车每车安装有5个转向架单元。如图1所示，转向架主要由左右2个磁铁模块、2根侧梁、2组定子绕组和4片防侧滚梁组成，磁铁模块与侧梁之间采用螺栓固结，防侧滚梁通过铰销与侧梁连接，4个空气弹簧分别位于左右侧梁的前后端部。每个磁铁模块包含了沿纵向分布的4个电磁铁和位于前后端部的2组传感器(检测悬浮间隙和电磁铁加速度信号)，磁铁模块的4个电磁铁分成前后2组，分别由2个独立的悬浮控制器控制其线圈电流，实现转向架4点主动悬浮控制。

图2 中低速磁浮车辆垂向动力学模型

本文主要分析磁浮车辆-轨道-桥梁系统的垂向动力学响应，因此，将车辆简化为由车体、转向架组成的刚体系统，仅考虑车体和转向架的垂向和点头运动自由度，建立了图2所示12个自由度的磁浮车辆垂向动力学模型。模型中空气弹簧考虑为线性刚度-阻尼器，将连续分布的电磁力简化为集中力。如果将每个磁铁的悬浮力简化为1个集中力，间距0.68 m的等间隔集中力将在F轨接缝处造成明显的周期性冲击，这会夸大F轨的中高频振动响应，故将每个电磁铁的悬浮力等效为4个集中力，以16个集中力模拟长度2.72 m磁浮模块的纵向连续分布力，如图3所示。表1列出了中低速磁浮车辆动力学模型的主要参数。

图3 等效电磁力分布示意

名称参数车体质量/t20转向架质量/kg2000车体点头惯量/(kg·m2)4.11×105转向架点头惯量/(kg·m2)2.3×103空簧垂向刚度/(kN·m-1)160空簧垂向阻尼/(kN/m·s-1)12

1.2 电磁悬浮控制模型

中低速常导磁浮车辆利用U形电磁铁与F型导轨之间的电磁吸力支撑车体，电磁悬浮力和悬浮间隙的平方成反比，与线圈电流的平方成正比，其计算公式为

(1)

式中，I为电磁铁线圈电流；N为线圈匝数；A为有效磁极面积；δ为悬浮间隙；μ0为空气磁导率。

开环的电磁悬浮系统是不稳定的，受到很小的外部干扰，系统都会失去平衡。为了实现稳定悬浮，必需进行主动反馈控制，采用了基于状态观测器的间隙、间隙速度和间隙加速度的反馈控制系统，其控制流程如图4所示。首先，实时检测磁铁模块端部的悬浮间隙信号δ和电磁铁加速度信号a，经滤波处理后输入观测器，状态观测器生成间隙变化量、间隙变化速度和加速度预测值，最后控制器利用预测值生成控制电流。

图4 悬浮控制系统流程

悬浮控制器输出的控制电流可表示为

(2)

1.3 轨排与轨道梁有限元模型

中低速磁浮的轨道结构主要是指轨排结构，它由F形导轨、工字形或箱形钢枕、F轨和轨枕连接件、轨枕与承轨台扣件系统等组成，如图5所示。轨排单元长度一般与轨道梁跨径相匹配，长沙磁浮快线标准轨道梁跨径为25 m，每跨轨道梁上方铺设2个长度为12.5 m的轨排单元。轨排中部9根轨枕的间距为1.2 m，端部轨枕间距为1.05 m。相邻轨排之间采用了如图6所示的Ⅰ型伸缩接头，该结构通过在F轨端部翼板和外腿处设置连接副，满足轨排间可纵向相对伸缩的要求，同时还能限制轨排间横向和垂向的错位[13]。图7所示是25 m跨径预应力混凝土简支梁梁端和跨中处横断面图。轨道梁主体为变截面混凝土箱型梁，现场浇筑承轨台，钢枕和承轨台通过扣件相连。

图5 轨排结构示意

图6 F形导轨Ⅰ型伸缩接头

图7 轨道梁横断面(单位：mm)

依据图5～图7所示轨排及轨道梁结构形式，采用ANSYS参数设计语言APDL，建立了中低速磁浮轨道与桥梁结构有限元模型，如图8所示。为了准确模拟F轨的变形与变位，F轨采用三维8节点实体单元Solid185建模，在F轨端部设置了横向和垂向连接弹簧，连接轨缝两端F轨，模拟伸缩接头对F轨端部的支撑作用，刚度数量级在1×108kN/m，轨缝处约束布置位置如图9所示。为了减小有限元模型单元数量，提高车轨桥系统动力学计算效率，对F轨以下结构不再使用实体单元建模，其中，轨枕采用了可承受平面内荷载和法向荷载的壳单元Shell63，轨枕扣件采用Combin14弹簧单元，梁体采用Beam188单元建模。轨道-桥梁结构参数如表2所列。

图8 轨排及轨道梁有限元模型

图9 F轨轨缝处约束布置

轨道结构参数数值弹性模量/GPa206F轨泊松比0.2密度/(kg·m-3)7840弹性模量/GPa210轨枕泊松比0.2密度/(kg·m-3)7850弹性模量/GPa35.5混凝土梁泊松比0.2密度/(kg·m-3)2500

对建立的轨排和轨道梁整体结构有限元模型进行了模态分析，图10分别给出了整体结构前三阶垂弯模态和轨排局部垂向振动模态。整体结构前三阶垂向自振频率分别为6.74、22.77 Hz和32.15 Hz，轨排局部垂向振动固有频率分布在50～70 Hz。文献[14]在长沙磁浮快线上开展了25 m轨道梁动力响应测试，结果表明，轨道梁一阶整体垂弯频率约为7.0 Hz，这与本文有限元模态分析结果接近。本文计算值略大于实测值的原因是，长沙磁浮快线在左右轨道梁之间设置了5个横隔板，而且实际预制轨道梁的刚度一般要大于其设计值。

图10 轨排和轨道梁整体结构及局部振动模态

2 车轨桥耦合振动数值模拟方法

针对建立的磁浮车辆-轨道-桥梁耦合振动模型，分别推导了车辆刚体动力学方程和电磁悬浮控制系统方程。轨排和桥梁结构采用有限元法进行建模，在ANSYS中生成了质量、刚度和阻尼矩阵。为了快速求解车-轨-桥耦合振动响应，采用了显隐式混合积分的方法分别求解上述三类动力学方程，并通过积分步内迭代求解获得系统响应。具体而言，采用文献[15]提出的新型快速显式积分方法求解车辆动力学方程，对于质量矩阵对称的二阶微分方程，该方法无需进行矩阵运算，具有计算速度快、精度高的特点。对于悬浮控制系统方程，采用了四阶龙格库塔法求解，轨道和桥梁系统动力学求解则采用Newmark-β隐式积分法，确保了有限元模型的计算稳定性。

基于以上数值计算方法，利用ANSYS的APDL语言，编制了磁浮车轨桥耦合动力学仿真计算程序，限于篇幅，不再给出详细的数值计算流程图。

3 车轨桥耦合振动响应分析

建立了三跨轨道梁模型，计算了磁浮车辆以80 km/h速度通过时车轨桥系统的动力学响应。仿真计算时，单节车辆总质量为30 t(AW2定员工况)，采用了文献[16]提出的中低速磁浮轨道不平顺谱(有效波长0.5～50 m)经反演得到轨道不平顺空间样本，如图11所示。磁浮轨道的垂向不平顺最大幅值为±2 mm，这与中低速磁浮交通设计规范中轨排的安装精度要求是一致的。

图11 磁浮轨道垂向不平顺空间样本

3.1 桥梁变形与振动响应

图12是单节磁浮车辆以80 km/h速度通过时，第二跨桥梁跨中截面处桥梁顶面和F轨顶部感应板的垂向位移响应时程曲线。由图12可见，桥梁跨中垂向挠度最大值为2.66 mm，小于长沙磁浮快线设计规范中规定的简支梁垂向挠度比限值L/4 600(L为桥梁跨径)。跨中处F轨感应板的垂向位移最大值为3.04 mm，大于桥梁跨中最大位移，说明F轨相对桥梁发生了约0.4 mm的垂向变形，占F轨垂向总位移的13%，F轨垂向位移主要由桥梁变形产生。需要指出的是，计算得到的桥梁跨中垂向挠度大于文献[14]给出的实测值1.7 mm(列车空载)，但与文献[11]中株洲磁浮试验线20 m跨径简支梁的实测挠度值2.2 mm接近。

图12 跨中处F轨和桥梁垂向位移响应

图13和图14分别给出了桥梁跨中垂向加速度响应时程曲线及其频谱图。由图可见，桥梁跨中垂向加速度响应很小，最大值仅为0.28 m/s2；桥梁垂向加速度响应的优势频率在30 Hz以内，其中第一、二阶主频为8.0 Hz和6.74 Hz，前者对应于车速与转向架单元长度2.8 m之比，后者为轨排和桥梁结构整体一阶垂弯自振频率。可见，虽然电磁悬浮力近似为纵向连续分布力，但间隙传感器和磁铁加速度传感器均设置在磁铁模块端部，相当于在磁铁模块端部存在两个主动控制的“磁轮”，而且二系空气弹簧也位于侧梁的两端，因此，类似于轮轨车辆转向架轴距引起的桥梁冲击，磁浮车辆的转向架单元长度也会引起磁浮轨道梁的周期性振动。

图13 桥梁跨中垂向加速度响应

图14 桥梁跨中垂向加速度频谱

3.2 F轨变形与振动响应

F轨是轨排结构中最重要的功能件，其顶部感应板与车载短定子相互作用，提供列车牵引力；底部磁极面与电磁铁磁极面相互作用，提供车辆悬浮和导向力。F轨上下功能面的变形变位与振动对磁轨动力作用有直接的影响。图15分别给出了桥梁跨中处F轨端部感应板和翼板相对于桥梁顶面的垂向位移。当车辆通过跨中轨缝时，F轨感应板和翼板的垂向相对位移均值为0.37 mm和0.21 mm，两者相差0.16 mm，这是F轨悬臂结构扭转产生的位移，约占感应板相对垂向位移的43%。

图15 桥梁跨中处F轨相对垂向位移

进一步分析车辆通过时F轨内外磁极面的垂向位移变化，图16给出了第二跨桥梁上前半跨右侧F轨内外磁极面垂向位移沿线路方向的分布图。可以看出，在跨中(11号轨枕)附近，F轨磁极面的垂向位移较梁端处要大得多，这是因为桥梁跨中变形最大。沿线路方向F轨内外磁极面垂向位移差变化不大，均小于设计规范规定的0.5 mm限值[17]；最大差值为0.31 mm，出现在了轨排中部第6～8号轨枕处，原因是中部轨枕的间隔要大于两端。

图16 F轨内外磁极面垂向位移纵向分布

图17给出了梁端、轨排中间和桥梁跨中处F轨的垂向振动加速度时程曲线。梁端和跨中处F轨最大垂向加速度达到20.7 m/s2和18.3 m/s2，远大于轨排中间F轨的最大加速度值4.6 m/s2。可见，虽然梁端和跨中伸缩接头为F轨提供了一定的横向和垂向限位刚度，但仍远小于F轨截面抗弯刚度，故F轨端部的垂向加速度幅值远大于中部。

图17 F轨垂向加速度响应

3.3 车辆系统动态响应

图18和图19分别为磁浮车辆车体质心垂向位移和车体前端垂向加速度响应曲线。可以看到，车体最大垂向位移为3.65 mm(向下为正)，3个峰值对应于车辆通过三跨桥梁，磁浮车辆较好地跟踪了桥梁垂向变形。车体前端垂向加速度(第一位转向架上方车体处)幅值为0.338 m/s2，与文献[14]给出的车体竖向加速度最大值0.335 m/s2接近，并远小于我国《高速铁路设计规范》关于车体垂向加速度应小于1.0 m/s2的限值；车体垂向加速度的主频为1.0 Hz，与车辆二系悬挂频率一致。

图18 车体质心垂向位移

图19 车体前端垂向加速度

图20和图21分别为车辆头部第一位控制点处的悬浮间隙与电磁悬浮力时程曲线。结果表明，悬浮间隙最大波动量为0.6 mm，小于设计规范中允许的间隙波动限值±4 mm；悬浮力平均值为7 369 N，标准偏差427 N，最大波动量1 766 N，约为平均值的24%。对比图20和图21曲线波形可知，两者基本同步变化，即悬浮间隙增大时悬浮力也随之增大，很好地体现了电磁悬浮控制的基本原理。

图20 第一位控制点悬浮间隙

图21 第一位控制点悬浮力

4 结论

建立了考虑完整电磁悬浮控制系统和细致轨排结构的中低速磁浮车辆-轨道-桥梁垂向耦合动力学模型，采用APDL参数设计语言编制了数值仿真程序，模拟分析了车辆以80 km/h速度通过时车轨桥系统的振动响应，得到以下主要研究结论。

(1)单节车辆通过25 m跨径轨道梁时，桥梁跨中最大垂向位移为2.66 mm，最大垂向加速度为0.28 m/s2，均满足长沙磁浮线轨道梁设计规范要求。跨中垂向加速度第一主频为8 Hz，对应于车速与悬浮架(磁铁模块)单元长度之比，第二阶主频6.74 Hz对应于桥梁的一阶垂向弯曲频率。

(2)车辆通过时F轨的最大垂向位移为3.04 mm，出现在桥梁跨中F轨接缝处；跨中处F轨垂向位移主要来自于桥梁变形，轨排结构变形使得F轨产生了约0.4 mm的垂向位移，占F轨垂向总位移的13%；F轨内外磁极面最大垂向位移差为0.31 mm，小于设计规范中规定的0.5 mm限值。Ⅰ型伸缩接头可以确保F轨端部不出现过大的垂向变形，但垂向加速度达到2g，这对伸缩缝连接可靠性提出了较高要求。

(3)磁浮车辆车体质心的垂向振动位移最大值为3.65 mm，垂向加速度最大值仅为0.16 m/s2；磁浮车辆第一位控制点处电磁铁的悬浮间隙波动量不超过0.6 mm，小于规范规定的±4 mm间隙波动限值；电磁铁动态悬浮力不大，不超过其平均值的24%。总体上，中低速磁浮车辆振动小，悬浮间隙和电磁力波动幅度不大，说明中低速磁浮车辆运行安全，乘坐舒适性好。