浅谈化圆为方问题的“前世今生”

吴建军 刘晶

摘 要：本文主要介绍了古希腊三大几何难题之化圆为方问题从提出到彻底解决的全过程。全文以化圓为方问题的历史发展为线索，追踪了古希腊数学家对该问题的探讨和研究，在深刻刻画尺规作图等价条件的基础上，指出了化圆为方问题的本质，并最终利用π的超越性，完全否定了“化圆为方”作图的可能性。

关键词：化圆为方;尺规作图;可构作数;π的超越性

中图分类号：G427                       文献标识码：A                文章编号：2095-624X（2019）32-0005-03

引    言

古希腊的科学成就灿烂而系统，对世界数学的发展影响巨大。它繁荣于公元前后各约600年的千年时段内，除早期之外，还可分为两个时期：雅典时期和亚历山大时期。著名的希腊三大难题之一化圆为方问题，就是在公元前5世纪由智人学派（sophist）提出的[1]。这一数学难题引起古希腊人和以后2000多年无数人的努力，极大地推动了数学的发展。到19世纪，这一难题直接催生出群、域等代数理论，伽罗瓦（Evariste Galois）理论，代数数和超越数理论，引发了崭新的现代数学的诞生。

一、尺规作图和化圆为方问题简介

直尺（straightedge）和圆规（compasses）是古希腊平面几何作图的工具，称为欧几里得工具（Euclidean tools）。古希腊人对它们的使用方法是有规定的，不能随意使用。直尺的使用方法是：过平面上给定的两点作一条直线。圆规的使用方法是：以给定的点为圆心，过另一给定的点作圆。特别要注意的是：①直尺是没有刻度的，也不可在直尺上做记号;②不允许利用直尺和圆规作其他的图形;③不允许利用直尺和圆规制造出新的工具[2]。

尺规作图（也称欧几里得作图）就是在已经给定的一些初等图形（点、直线、圆）的基础上，利用直尺和圆规，在有限步骤之内，作出新的图形。

化圆为方（the Squaring the Circle）即任意给定一个圆，要求用直尺和圆规构作出一个正方形，使其面积等于该圆的面积。这个问题也可叙述为：任给线段长r（圆的半径），要求用直尺和圆规作出线段长x，使x2=πr2，其中π是圆周率。

二、化圆为方问题的早期探索

1.希波克拉底（Hippocrates）的“化月牙为方”法

于是，利用可构作数的定义，定理2可表述为：x是基于a1，a2，...，as的可构作数的充要条件是，可由1，a1，a2，...，as经有限多次的加减乘除和开平方运算得到。

基于以上定理，我们再来谈化圆为方问题。化圆为方就是用尺规构作，归结为构作π，即要求π是可构作数。

结    语

基于“圆周率π是超越数（1882年由德国数学家林德曼证明）”这一事实，我们知道π为“不可构作数”，从而知化圆为方尺规作图不可能，完全否定了“化圆为方”作图的可能性，由此，经过2000多年无数数学家的努力，“化圆为方问题”得到了彻底的解决。解决这一难题的历史进程极大地推动了数学的发展，直接催生出许多数学理论，促进了现代数学的诞生。

[参考文献]

张禾瑞.近世代数基础（修订版）[M].北京：高等教育出版社，1978.

张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

张贤科.代数数论导引（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

潘承洞，潘承彪.代数数论（第二版）[M].济南：山东大学出版社，2001.

姜伯驹.古希腊名题与现代数学[M].北京：科学出版社，2007.

卢介景.数学史海揽胜[M].北京：煤炭工业出版社，1988.

基金项目：本文系省级课题“基于核心素养理念下的数学史知识在高中数学课堂教学中的运用研究”（课题编号：GS〔2017〕MSZX141）的研究成果。

作者简介：吴建军（1987.1—），男，甘肃武威人，理学硕士，一级教师，研究方向：高中教育教学。

刘晶（1987.7—），女，甘肃兰州人，文学硕士，二级教师，研究方向：高中教育教学。