谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用

王赣勇

（江西省丰城市拖船中学，江西 宜春 331100）

数学思想的培养贯穿于整个高中数学教学中，在此过程中，教师不仅需要教会学生数学知识，掌握数学方法，培养数学能力，更应该引导学生感悟数学思想。分类讨论既是一种重要的数学思想，又是解决问题的逻辑方法。这种方法对于简化研究对象、发展人的思维有着重要帮助。在教学活动中“分类讨论思想”是数学发现的一种重要手段，它能揭示研究对象之间的内在联系，学生可以用它解决问题，使数学知识结构更有条理。此外，运用分类讨论来解决的题目在高考试题中也必然存在。重点论述高中数学中分类讨论的原理、类型以及讨论的步骤，讲述分类讨论的具体应用。

一、弄清分类讨论的原因

（一）由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义，不等式的定义，二次函数的定义，直线与平面所成的角，直线的倾斜角，两条异面直线所成的角等问题。

（二）由数学运算引起的分类讨论：如导数的正负号，除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，对数运算中真数与底数的要求等问题。

（三）由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题。

（四）由参数的变化而引起的分类讨论：如含参数的方程、不等式，含参数的函数的单调性、值域（最值）等问题。

（五）由图形不确定引起的分类讨论：如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等问题。

（六）其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论：如排列组合，概率等实际问题。

二、分类讨论教学的重要性

在分类讨论问题解决中，虽然存在规律，但是规律没有固定结构，对数学内容的学习需要以基本概念、内涵、定理、法则与公式为前提。因此，在高中数学知识教学过程中，引进分类讨论教学，可以让学生对数学知识进行分类掌握，并形成数学框架，对高中数学知识全面了解。例如，针对数学概念的分类讨论，在对函数Y=作图，在这个函数中，需要将cosx看成是一个整体，在分式中分母不得为0，因此，需要去除cosx=0的点，属于间断图像。之后从增减性与正负性考虑函数cosx，最终对该题进行解答。另外，在数学公式与订立的分类讨论中，需要对其进行详细的分析研究，需要考虑到公式的运算法则以及问题成立与否的条件，并对其进行指定分类。例如，在排列组合的学习过程中，教师向学生提问：8个人站成两排，A与B必须相邻，有多少站法。在对其进行解答的时候，可以将A与B看成是一个整体，即7人站两排，并得出组合数，之后对A与B的站位进行讨论，将上述结果乘以2得出答案。由此，可以看出在高中数学教学中，分类讨论是十分必要的，在数学教学中占有重要的地位。因此，教师在教学的时候，需要充分考虑到分类讨论的内容，以便对数学知识点进行分类讨论，通过对高中数学知识进行分类了解与掌握，对整体数学知识进行消化与理解。

三、具体应用与实例

（一）因数学定义和规则必须分类讨论的如，开偶次方、不等式两边同乘、去绝对值等。

（二）由定理、性质、公式的限制引起的分类讨论

对数函数的单调性因底数a的取值范围不同而不同，故需对a进行分类讨论。

（三）由几何图形中由于相对位置不确定引起的分类讨论

（四）某些含有参数的问题，由于参数的取值不同对结果有影响，所以要分类讨论

例如，有关一元二次函数最值、值域等问题，如果含有参数，需要对开口方向、对称轴的位置进行分类讨论，最后综合各种情况得到答案。

（五）其他情形，具体问题要根据实际情况具体分析

对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并没有绝对规定，我们要在解题时不断地总结经验。另外，数学中的一些结论一般情形是正确的，但要考虑特殊情况。解题时，应注意就这些特殊情形进行讨论。常见的有以下几例：

（1）“一元二次方程有实数解”转化为？驻≥0时，忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为？驻≥0；

（2）等比数列前n项和公式中：q=1时，公式不成立，而是Sn=na1。

（3）直线方程时，设直线的斜率为k，但当直线与x轴垂直时无斜率，应另行讨论。

四、分类讨论思想的注意事项

在应用分类讨论思想进行解题的过程中，需要注意以下四方面的问题：第一、根据数学对象本质的相同点和差异点进行分类，分类过程中应该做到不遗漏、不重复；第二、应用分类讨论思想，应该熟练掌握基本方法、技巧、知识等，熟能生巧的同时做到融会贯通；第三、学习过程中要不断总结经验和教训，避免盲目分类和主观臆测；第四、不断总结，注重简化分类，优化解题过程。在运用分类讨论解题时，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？分几个类别？不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性。

数学思维的教学和数学的一般知识不一样，很难在短时间内掌握。教师在教学过程中不要急于求成，应该在平时的教学中有意识地将分类讨论的思想渗透其中，让学生一步一步地学习分类方法，加强思考，提高解决复杂问题的能力。应用分类讨论思想的范围比较广，在高中数学学习过程中，对于该思想的学习和应用，需要经过不断的经验的积累、反复的总结和思考。并且应用分类讨论思想需要具备一定的逻辑思维能力、分析问题能力以及自主探究能力，而这些能力又在应用分类讨论思想的过程中相辅相成，相互促进，从而提升了学生的综合素质和能力。分类讨论思想能够有效提升学生的理性思维，促进学生思维扩散，从而可以为今后的学习和工作奠定良好的基础。