基于凸优化的最佳检测性能波形设计

周飞

（上海船舶电子设备研究所，上海，201108）

在主动声呐系统中，发射波形不仅决定了信号的处理方法，而且直接影响着系统在分辨力、参数测量精度、混响抑制和反对抗能力等方面的性能，因此，波形设计成为信号处理中重要的研究方向。常用的声呐波形主要包括单频信号、调频信号和相位编码信号等。多相编码信号因具有较大的多普勒容限和较低的自相关旁瓣而备受关注[1]。常见的多相编码有P3码序列、P4码序列、Frank码序列、Golomb码序列、Chu码序列等，其中P3码由于自身优良的特性在工程中得到了广泛的应用。目前，主动声呐在混响下的波形设计和检测问题主要集中在以下两个方面：一种是从模糊度函数角度通过理论分析进行波形综合设计，更多考虑集中在目标的频率分辨率和时间分辨率上，该方法的缺陷是忽略了信道的影响，在一定的时间带宽积下很难获得频率分辨率和时间分辨率同时最佳的波形。另一种则从发射和接收端联合考虑，更多的从检测性能最佳角度出发，考虑分辨率上的约束和要求，也可考虑信道和环境的部分特性。这种方法同时考虑了混响和环境，更接近实际，但存在设计难度大，计算量也大，需要提前知道信号的部分特性等困难，但最佳检测的效果也非常明显，本文以第二种方法作为研究的重心。文献[2]针对已知混响环境下点目标的检测问题，从理论上分析了在Newman-Person准则下发射波形应该具备的功率谱形状，同时从最佳检测的角度讨论在已知杂波或者混响的扩展函数的条件下，发射机为达到最佳检测效果而应该的发射波形。文献[3]从直接测量功率谱的平方根误差平方和的角度推导了一个新的代价函数，针对发射波形中对恒模（幅度不变）的要求，找出求解这类发射波形的迭代算法，仿真表明，所设计的波形的功率谱与所要求的功率谱非常接近。

在静止目标探测中，由于多普勒频移为零，波形设计评价模糊度函数简化为自相关函数，在浅水环境或混响占优时，存在主动声呐即使增加发射功率，仍无法获得高的检测概率和目标探测过程中需要同时考虑最佳检测和参数估计的问题，为此本文提出了PCA-SC算法来进行相位编码设计，将目标探测过程中的最佳检测和参数估计同时考虑，把这两个因素综合考虑到一个代价函数中，以最大化检测概率为目标函数，同时施加相似性约束和能量约束，能量约束保证设计编码为相位编码，相似性约束保证设计编码有一定的时域分辨能力（相似性约束中，相似序列一般选用有良好时域分辨能力的相位编码，本文选择P3码），通过调整相似性参数来控制不同因素的比重。

1 方法设计

PCA-SC算法是Antonio De Maio基于凸优化理论提出的一种基于相似性约束的最优化检测概率的波形设计方法，通过构建了一个最优化数学模型，把时域分辨力和最佳检测这两个因素考虑到一个代价函数中，通过约束时间分辨力所希望满足的最低要求，最大化检测概率来设计发射波形[4]。

1.1 最优化方法的基本模型

有约束的最优化问题的数学模型：

式中，f(x)为目标函数，ci(x),i=1,2,...,m为约束函数，只要其中一个约束条件是非线性的，则整个问题就是约束非线性优化问题。特别是，如果ci(x)都是线性的约束条件，目标函数f(x)为二次函数，则这样的问题被称为二次规划问题。

1.2 PCA-SC波形优化设计原理

假定干扰矩阵w是一个零均值复循环高斯向量，并已知它的正定协方差矩阵

式中，在对于给定的虚警概率值Pfa，可以得到非波动目标(Non Fluctuate Target，NFT)和波动目标(Fluctuate Target，FT)的检测概率的解析表达式。对于前者，检测概率P可表示为[4]：

式中，Q(⋅,⋅)表示一阶马库姆函数。α表示回波幅度（取决于发射幅度、相位、目标反射和信道传播影响），c表示长度为N的相位编码，p表示长度为N的多普勒频移向量，Tr表示脉冲重复时间。具体公式分别为：

上式表明，Pfa给定时，P仅与信噪比SNR有关，SNR的定义如下

对比式（4）和式（5）可以发现，P是随着SNR增大的函数，因此，P的最大化可以通过最大化下面的二次形式来获得

由于本文研究了静止目标的探测问题，fd=0，故。

1.3 PCA-SC波形优化方法

已知协方差矩阵的噪声环境下，设计发射信号，使得波形具有一定分辨能力的基础上检测概率最大的要求就可以用数学简单的表示为

式中，R为干扰协方差矩阵的倒数。由式（6）得检测概率的最大化可以通过HcRc的最大化来进行。

第一个约束为相似性约束，第二个约束保证编码为相位编码。要求设计的编码与给定的c0比较接近，而c0具有一定的时域分辨能力，ε∈[0,2]，ε控制着两个编码间的距离。显然，ε越大，设计编码的自由度就越大，能够获得更好的检测性能。

以上数学模型为凸优化问题，文献[4]介绍了一种基于松弛随机化的有效近似算法，取合适的随机化参数下可以获得最优解的准确近似解。可以借助Matlab中包含的cvx工具包（内含高速求解内点法SeDuMi），通过优化可以得到算法的全局最优解c。

2 波形设计代价函数与品质因数

离散信号的自相关函数可表示为：

式中,k=0,1,…,N-1，“*”表示复共轭。r（k）,k≠0为离散自相关旁瓣，r（0）为主瓣且等于信号能量。

定义ISL代价函数度量波形时域分辨力优劣：

同时约束在零时刻的自相关rx(0)=N。

从式（10）可以看出，设计序列的ISL代价函数越小，自相关函数旁瓣级越小，所设计波形的时域分辨力越高。

定义品质因数MF：

从式（11）可以看出，ISL矩阵的最小化等价于品质因数MF的最大化。ISL越小即MF越大时，自相关旁瓣所占比例越小，匹配滤波器的距离分辨力越高。

3 计算机仿真与分析

设定PCA-SC算法相似序列为长度为N=128的P3码，P3码对瑞利波动目标的检测概率如实线所示，所设计PCA-SC编码对瑞利波动目标的检测概率如图1虚线所示。假定干扰的协方差矩阵是由延迟为1的自相关系数ρ=0.8指数形式构成的，即

设定虚警概率Pfa的值为10–6，随机化次数L=20，相似系数ε={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}。

仿真1：PCA-SC算法设计编码检测概率曲线

图1给出了瑞利波动目标情况下，PCA-SC编码的相似序列为P3码时，相似性系数ε逐渐变小，设计编码检测概率随信噪比变化曲线。从图1可以直观看到，相似性系数ε减小，设计编码和相似编码越来越相似，算法优化性能越来越差。ε=0时，优化序列的检测性能与相似序列一致。

表1给出了不同的相似系数ε下PCA-SC算法所设计编码的检测概率P值。可以发现，随相似性系数ε增大，PCA-SC算法对检测概率的优化性能越来越好。但观察图2～图6，可以发现，随相似性系数ε增大，归一化自相关函数图的旁瓣级越来越高，具体体现在MF逐渐变小（见表2）。PCA-SC编码方法基本思想是设计一种满足系统时域最低分辨能力检测概率最大的发射信号，故PCA-SC算法的优化往往希望有较大的相似性系数ε，因此算法的相似序列一般采用有良好的时域分辨能力的相位编码（本文采用P3码），来满足系统对时域分辨力的最低要求来最大化检测概率。

图1 P3码（实线）和 PCA-SC(P3)(相似序列为相同长度的P3码)（虚线）的检测概率P随信噪比参数的变化曲线

表1 PCA-SC算法所设计编码检测概率（P）随信噪比的变化情况

仿真 2:PCA-SC(P3)和 PCA-SC(CAN(P3))算法设计编码归一化自相关函数图

图2～图6是用P3码作相似序列，相似性系数ε逐渐增大时，使用PCA-SC算法所设计的编码归一化自相关函数旁瓣级图。可以发现，当ε逐渐增大时，直观的从图2～图6上看，PCA-SC(P3)算法所设计编码的自相关旁瓣级逐渐增大，也就意味着设计编码的距离分辨力越来越差（MF逐渐变小），表2对 PCA-SC(P3)算法所设计编码的旁瓣级用品质因子进行了量化，给出了不同ε下MF的具体数值。

表2 PCA-SC(P3)和PCA-SC(CAN(P3))算法所设计编码的MF

图2 ε=0时PCA-SC(P3)的归一化自相关函数

图3 ε=0.2时PCA-SC(P3)的归一化自相关函数

图4 ε=0.4时PCA-SC(P3)的归一化自相关函数

图5 ε=0.8时PCA-SC(P3)的归一化自相关函数

图6 ε=1.2时PCA-SC(P3)的归一化自相关函数

仿真3 随机化次数对于检测性能的影响

图7展示了随机化次数L对检测性能的影响，可以看出，10次随机化的曲线和100次的非常接近，也就是说，这个算法具有很迅速的收敛特性。

图7 随机化次数对检测性能的影响(L=[1,10,100,1 000],ε=0.8)

综上，PCA-SC编码是一种基于相似性约束最优化检测概率的波形设计方法，通过约束时间分辨力满足最低要求，最大化检测概率来设计发射波形。在实际中，可根据具体需求调节相似性系数，在时域分辨能力和检测性能之间寻求一个平衡，另外，PCA-SC编码算法还要求选取适当的随机化的次数，以提供令人满意的效果。

4 结论

本文给出了一种在能量和时域分辨力约束下针对随机目标检测性能的相位编码信号设计方法PCA-SC算法。在优化设计过程中，首先定义了衡量随机目标时域分辨性能的MF，并将之作为重要约束条件来确保目标满足声呐系统的时域分辨能力要求。同时，考虑发射信号能量约束条件，采用最大化检测概率优化准则，利用随机化方法得到能够最优逼近全局最优解的相位编码信号近似解。实验结果表明，本文所提相位编码信号设计算法能够使所设计信号在满足系统必要时域分辨力的前提下，有效逼近原优化问题的全局最优解，最大化目标的检测性能。另外，所提相位编码信号设计算法能够更好地吻合实际工作场景的需求，具有很大的实际应用价值。