地方性院校高等代数课程教学的实践与认知

秦永云

（曲靖师范学院数学与统计学院，云南 曲靖 655011）

引言

近年来，随着我国高等教育规模不断扩大，地方性新升本师范院校也相应增加。相对省属部属高校，地方性院校学生的学习基础和学习能力较弱，尤其是抽象思维、逻辑思维能力较弱，而《高等代数》课程对学生的抽象理解力要求很高，因此，学生普遍反映《高等代数》较难，大多数学生只是死记硬背应付考试，没能真正理解，而后续课程要用到相关知识时，印象不深。而开设这门课程的初衷，正是培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，提高数学修养，为后续课程做铺垫。本文结合自身的教学实践，改变原来的教学模式，既能让学生掌握高等代数的基本知识，又能让学生理解其内涵，在培养学生抽象思维能力的同时，又为后续课程奠定基础。本文选用北京大学代数小组编写的经典教材《高等代数》第四版为例，采用数学主题情境教学法。下面是本人教学中的几点教学方法改革尝试。

一、从简单例子出发，加强学生对抽象定义的理解

高等代数主要研究抽象的代数系统以及代数运算，其抽象定义较多，如线性空间、线性变换等。这些定义的理解直接关系着整门课程的学习效果。而面对学生抽象理解力较弱，教师可从简单例子出发，从而加深学生对抽象定义的理解。例如，在讲线性空间的定义时，可从平面向量、n元数组入手，让学生总结它们都是带有运算的集合：加法和数量乘法，且这两种运算满足一些规律。把这些共性抽象出来，就得到线性空间的定义。这样，学生对线性空间这个抽象的定义有了具体的例子，就能做到真正理解，而不是死记硬背；在学习线性空间的相关性质时，联系这两个例子也能帮助学生加深理解。这些抽象定义的学习将为后续课程《抽象代数》中群、环、域的理解奠定基础。

二、一题多解，加深学生对知识点的理解

矩阵的合同是高等代数中的一个重要知识点，而课本上的内容只能让学生记住什么叫合同：称矩阵A与B合同，如果存在可逆矩阵C使得B=C’AC。但是，学生往往不理解它的实质——左乘C’和右乘C，对矩阵A来说发生了哪些改变。另一方面，书本第五章第二节，讲到将二次型化为标准形的方法，教材上提到两种方法——配方法和矩阵法，我在备课时查了相关资料，发现还有另一种方法——初等变换法，即将矩阵A和单位矩阵E一上一下排成一个大矩阵，对这个大矩阵同时做初等行变换和初等列变换（所做的行、列变换要一致），则将A化为对角矩阵时，E就化为替换矩阵C。这种方法教材上没有提到，但我给学生讲解后，学生反映这种方法较前两种简单，而且，这种方法多次强调，对矩阵A同时做同样的行、列变换，这恰好解释了合同变换——左乘C’和右乘C，就是对A做了一系列相同的行、列变换。

三、创设问题情境，激发学生兴趣

问题情境的创设不只出现在高中课堂中，高等代数的教学同样要创设一些生动有趣的情境，以激发学生的兴趣。比如，在讲解二阶行列式的定义时，从解二元一次方程组出发，让学生自己推导，并观察解的特点，总结出分子分母的特征——都为两数乘积减去两数乘积，从而把这样的运算定义为二阶行列式。让学生把二元的情形推广到三元、多元，就自然地引出三阶行列式、n阶行列式的定义。又如，在讲解逆矩阵的定义时，从中学中的逆运算出发；在讲解辗转相除法时，从短除法出发；在讲解线性空间的基与坐标时，从直角坐标系的单位向量、坐标出发；在讲解线性变换的运算时，从函数的运算出发。这样，学生在原有知识的基础上自行推导、引入新概念，就能更好的理解新知识。

四、注重名词解释，加强学生的理解记忆

高等代数的定义、定理中有大量的名词，这些名词都是沿用国际惯例，所以课本上没有做太多的解释。然而，给学生讲清楚这些名词的由来及背景，往往能加深学生对知识点的理解和记忆。比如，在讲解线性方程组的概念时，可以给学生解释数学中“线性”的含义，并联系中学学过的线性规划，让学生明白“线性”即“一次”，这样，就能加强学生对线性方程组的理解，并且，在学习线性组合、线性相关性、线性替换时，也能更好更快的理解相关概念。又如，在讲解惯性定理时，联系物理背景，“惯性”即“保持不变的性质”，这样，惯性定理就是实二次型在非退化线性替换下保持不变的性质。在讲解线性子空间的直和时，从几何中解释，“直和”即“垂直的和”，就能使学生理解直和的等价定义。