数学课堂中探索性问题的解题策略研究

赵科

（淳安县姜家镇初级中学，浙江 杭州 311722）

一、问题缘起

从数学的发展史看，数学的产生和发展总包含着数学解题策略的产生、积累和发展，而人们在研究数学本身的同时，也就开始了对数学解题策略的研究。在初一阶段，学生刚从小学升入初中，思维能力还处于低级阶段，几乎不会分析问题，解决难题目。只会正向思维，直白的题目做下。而中学数学越来越难，单单直白的解题已经完全不能满足初中数学的需求。数学新课程标准的课程目标中指出让学生“经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法”。所以为了使学生能更好的去解决问题，在同一个问题的解答过程中能使用最优方案，就必须培养学生解题的策略，而且解题策略的研究会使学生在探索性问题的解答过程更得心应手！

二、概念界定

（一）探索性问题的定义

一般来说，探索性数学问题具有以下一些特征：非完全性，不确定性，探究性，灵活性。所以本文认为探索性问题就是指数学题目中条件、结论不完整，解题方法、依据不唯一，需要解题者灵活的运用各种解题方法，去探索思考解决题目。

（二）数学解题策略的定义

自从人们提出解题策略这个概念以来，已有很多人对它发表了自己的理解与看法。我对解题策略的定义是：运用各种数学思想来分析题目，再运用适当的数学方法来解决题目，这就是解题策略。

（三）探索性问题的解题策略定义

运用各种数学思想来分析不常见的、没有特定解题步骤的题目，再不断的尝试用各种解题方法，直到找到行得通的方法来解决问题。

三、解题策略的产生过程

无论解题策略是怎么定义的，总有选择的过程，即主体通过审题将原始问题中的信息吸收并且化到主体原有的认知结构中，在追求问题解答的这种内驱力的推动和调节下，使原有的认知结构发生改组和重建，并且提出阶梯问题，以便借助这些阶梯问题解决原始问题的过程。如探索性问题的求解总是比较困难的，往往需要从不平常的角度来考虑问题，这就需要我们原有的认知结构改组，而从题目中我们获取了新的信息，这就得与我们原有的知识进行同化，最后重组成新的认知结构，可以更好的分析题目。比如若题目给出2 ⊕3=6，3 ⊕4=12，那么我们就必须重组认知结构，在做这道题目中不能把⊕当作+来使用，而应当作×来使用。

根据波利亚的解题思想的理解，我将解题策略分为如下四个阶段：

1.列出方法 ，即根据题意，主体尽量多的想出解题的方法来。2.指明方向 ，即主体在弄清问题的基础上，初步辨认问题的症结所在，通过广泛的联想，迅速的局部推理和活跃的直觉，逐渐形成一种产生解题策略的心向。3．选择策略，对于不同类型的题目，必定有常规的方法和特殊的方法。选好了策略还得选择一个正确的解题顺序，否则就会影响解题的速度和精确度。4．运行策略，根据所选的解题策略，一面探索，一面前进。用逻辑的方法验证策略的可行性。如果验证的结果表明所选择的策略不可行，则应检查是否在运算过程中发生了错误，或是未能充分利用已知条件。如果有补救的方法不妨试之，否则就应重新根据阶段二另选策略。那为什么自己选的策略会行不通呢？其原因是解题策略的发现过程。

四、对探索性问题的解题策略

新课标的教学建议指出“教师要把基本理念转化为自己的教学行为，处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考”。而探索性问题的教学能很好的这点做到，所以结合有关文献资料和对中学数学的理解，我对探索性问题的解题策略经行了研究，总结出以下几点：

（一）问题转化

解答数学习题，作为创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成一个比较熟悉的，比较容易解决的问题。通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。所以问题转化也叫做化归。

（二）以退求进

解数学习题时“先退到足够我们所最容易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去”。这就是以退求进。也就是常说的从一般到特殊，从复杂到简单，从抽象到具体，从多到少等等。但是用这种策略时我们必须防止以偏概全的毛病，必须注意特殊化本身的局限性。要“善于‘退’、足够的‘退’，‘退’到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”（华罗庚语），在教学中对于有些复杂难解得问题，可引导学生退到简单易解得地步，以探求原题的阶梯信息是解困的又一方略[4]。

（三）特殊化与一般化

梅森（J.Mason）是英国开放大学数学教学中心的主任，他在数学方法论的领域内著有《数学地思维》（Thinking Mathematically）、《学数学、搞数学》(Learning and Doing Mathematics)等著作。在这些著作中，梅森集中地研究了数学中的特殊化与一般化方法及其解题过程中的作用。按照梅森的观点，特殊化与一般化正是数学思维的核心，同时也是怎样解题的关键所在。

特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，或如波利亚所说：“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”在数学中，特殊化可以指用具体的数字去进行代入，也可以指就“极端”的情况进行考虑，还包括作出具体的图象等。

例：一个农夫有若干鸡和兔子，他们共有50 个头和140 只脚，问鸡和兔子各有多少？

该题其实与七年级数学教材2.3 解二元一次方程组的节前题是同一道题，只是数据不一样。对于这道题目波利亚给出了一个十分巧妙的解法，其核心就是如下的假设：“农夫惊异地看着鸡兔们非凡的表演：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来。”显然，在这种情况下，总脚数只出现了一半，即70 只脚。在70 这个数里，鸡的脚数是与鸡头数相同的，而兔子的脚数则是头数的二倍，从而，从70 里减去总的头数50，就是兔子的头数70-50=20。20 只兔子，当然鸡就是30 只了。

这就是特殊化的应用，即将原题目用特殊的方法来做。梅森指出，由于数学中特殊化具有明确的目的性，即为了更好地了解所面临的问题、发现可能的解题策略等，我们在此就不应对任意的特例去进行考虑，而应特别注意那些我们较为熟悉的、能较有信心地进行操作的对象。因此，梅森写到：“特殊化是一个相对的概念。”这就是说，特殊化是与个人的特殊经验和能力直接相关的，在某个人看来是特殊化的东西对另一个人来说就可能是十分抽象的。一般地说，有如下法则：有效的特殊化意味着使用你能够很有信心地予以操作的对象。这种做法当然是因为波利亚有很强的功底，但主要还是凭偶然的试算和运气。可不知道你发现没有，这种方法其实是有一般的式子的。梅森指出，相对与特殊化而言，一般话是较为困难的。然而，一般化又是数学创造的基本形式，因为，数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律。

有了特殊化，学生能在解决填空选择题时节约很多时间，特殊化一般没有什么特定的书写格式，而且一般能快速的解决一些题目，比如说“特殊值法”学生能更快的得到答案；而一般化是学生将知识点内化的一个必不可少的过程，如果没有这个过程，学生在做题时会感到每次都在做新题目，会浪费很多时间。有了一般化以后的知识点，再特殊化的题目只要能发现其中的基本题型，就能找到突破口，从而使学生在解决探索性问题时事半功倍。

（四）化归原则

匈牙利著名数学家Rosza Peter 在其名著《无穷的玩艺》中曾举过一个有趣的事例：

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应该怎么样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问：“如果其他的条件不变，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做呢？”这时被提问者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样做。而数学家则会倒掉壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经解决了的问题了。”

Rosza Peter 指出，这种思维方式对数学家来说是十分典型的。这就是说，“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。如果把“化归”理解为“由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的”转化，那么，我们就可以说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。从解题策略的角度来说，这也就是所谓的“化归原则”。

数学中的化归有其特定的方向，一般为化复杂为简单、化抽象为具体、化生疏为熟悉、化难为易、化一般为特殊、化特殊为一般、化“综合”为“单一”、化“高维”为“低维”等。

在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化已知知识、把特殊转化为一般的解决问题的思路和方法。教师重视数学思想教育发挥数学思想方法在数学中的作用，确实是培养学生创新精神与应用能力、提高学生综合素质的一个重要途径。将探索性问题化归成几个基本题型是教师应该培养学生的方向。

（五）建立模型

新课标的设计思路中有提到“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”。这就是我们常说的数学建模，所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。数学建模是一种数学解题策略，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。实际问题一般都类似于探索性问题，学生能运用数学建模来解决实际问题，是一种数学的应用，也是自身的能力体现。

五、结束语

对于学生解题策略的多样性是靠平时做题时积累的，没有平时积累的数学思想和数学方法，那就不能找到最好的解题策略，也许还不能解决问题，所以这就需要老师平时要多总结，以便让学生可以有目的性的积累。根据我在论文写作过程中对资料的理解，我认为解题策略即是指自己能又快又准确的解出题目，从而选择的各种数学思想和数学方法的一个集合体。当你发现别人的方法比自己的好时，你下次做题目肯定会选择那更好的方法，也就是你新的解题策略。