本题试卷答案

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直线方程与圆的方程综合演练A 卷参考答案与提示

一、选择题

1.提示:由题意可知点P(2,3)在直线l1和 直 线l2上,所 以则点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)满足直线方程2x+3y=1,所以经过点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是2x+3y=1。应选C。

2.提示:应选C。

3.提示:应选C。

4.提示:设动点P(x,y),则kPA=。因为kPA·kPB=-1,所以=-1,即x2+y2=1。又当x=±1时,必有一个斜率不存在,故x≠±1。应选C。

5.提示:直线l1的方程可化为y=ax+b,l2的方程可化为y=-bx+a(ab≠0)。对于B,由l1可知,a＞0,b＜0,由l2可知,a＞0,-b＞0,即a＞0,b＜0。应选B。

6.提示:应选C。

7.提示:应选A。

8.提示:应选D。

9.提示:应选A。

10.提示:应选C。

11.提示:在等腰直角三角形ABC中(图略),☉D为外接圆,可知D为AB的中点,因此AD=2,AB=2AD=4。根据勾股定理可得AC=2 2。由直角三角形内切圆半径公式可得r=2 2-2。应选B。

12.提示:应选D。

13.提示:应选B。

14.提示:由圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线l:2ax+by+6=0(a,b∈R)对称,可得圆心(-1,2)在此直线上,则b-a+3=0。由点A(a,b)向圆所作的切线长(设为AB)取最小值时,圆心与A(a,b)两点之间的距离(设为CA)取得最小值,可得|CA|=

15.提示:直线l:ax+by=1 与圆C:x2+y2=1有两个不同的交点,即直线l与圆C相交,即圆心C到直线l的距离d＜r,则＜1,即a2+b2＞1。又P(a,b)到圆心C(0,0)的距离为a2+b2,所以点P与圆C的位置关系为P在圆外。应选A。

二、填空题

16.提示:所求直线的方程为x+y-2=0。

17.提示:直线l的方程为y= -2x或x+y-1=0。

18.提 示:令x+1=1,得x=0。 由loga(0+1)-2=-2,可得P(0,-2)。由于直线2x+y-1=0 的斜率为-2,则所求直线的斜率为,所以经过点P且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程为x-2y-4=0。

19.提示:设平面直角坐标系中任一点P(图略)。四边形ABCD对角线AC,BD的交点为Q,则点P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和为,故点Q即为所求距离之和最小的点。由AC,BD的方程分别为2x-y=0,x+y-6=0,可得交点Q(2,4)。

20.提示:a=1(负值舍去)。

21.提示的取值范围是

22.提示:由题意可得圆心坐标为(-1,2),半径r=13。因为点A到圆心的距离d=12,所以最短的弦长为2=10,最长的弦长是直径即为26(分别只有1条),还有长度为11,12,13,…,25的各2条,则弦长为整数的共有32条。

23.提示:圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为。因为圆与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,则两圆圆心的中点在直线y=x-1上,解得a=2,所以点C(-2,2)。设圆心为P(x,y),则 (x+2)2+(y-2)2=|x|,即y2+4x-4y+8=0为所求的轨迹方程。

三、解答题

24.提示:(1)折叠后,折痕为对应正方形的一条对角线,易求折痕所在的直线方程为y=-x+1。

(2)当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程为;当k≠0 时,将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)(0＜a≤2),则A与G关于折痕所在直线对称。由kOG·k=-1得a=-k,故点G(-k,1), 可 得 线 段OG的 中 点,所以折痕所在的直线方程为,即≤k＜0)。综上所述,所求折痕所在的直线方程为

25.提示:(1)m∈(-∞,5)。

(2)由x2+y2-8x-12y+36=0,可得(x-4)2+(y-6)2=16,所以圆心为(4,6),半径为4,则两圆心之间的距离d=5。因为两圆的位置关系是外切,所以d=R+r,即,解得m=4。

(3)由圆心C(1,2),可得圆心C到直线l的距离,所 以 ( 5-m)2=,即5-m=1,解得m=4。

26.提示:(1)k=± 3。

(2)由题意可知,O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上。设点则圆的方程为,即。又C,D在圆O:x2+y2=2上,所以弦CD所在的直线方程为,即。由解得所以直线CD过定点

(3)设圆心O到直线EF,GH的距离分别为d1,d2,则d21+d22=|OM|2=,所以

27.提示:(1)所求直线方程是x=1 或3x-4y-3=0。

(2)直线l1与圆C相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0。由可得点。因为直线CM⊥l1,所 以,可得点。 故,即|AM|·|AN|为定值。

点、直线、平面之间的位置关系综合演练B卷参考答案与提示

一、选择题

1.提示:对于A,直线m,n可能平行、异面或相交,A 错误。对于B,直线m与n可能平行,也可能异面,B 错误。对于C,m与n垂直而非平行,C错误。应选D。

2.提示:分析知A,B,C 中位置不能确定,均不正确。应选D。

3.提示:应选B。

4.提示:应选A。

5.提示:对于A,因为M,N分别是BC1,CD1的 中 点,点N∈平 面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线。又直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,A 错误。 对于B,易知正方体中NB≠NC1,且点M是BC1的中点,可知直线MN与直线BC1不垂直,B不正确。对于C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1,因为N是CD1的中点,所以MC=MD1,这与MC≠MD1矛盾,故假设不成立,C 不正确。对于D,分别取B1C1,C1D1的中点为P,Q,由点M是BC1的中点,可得PM∥CC1且,同理可得QN∥CC1且QN=。由此可得PM∥QN且PM=QN,所以四边形PQNM为平行四边形,所以PQ∥MN。在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC,因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,所以PQ⊥平面ACC1。因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1,D正确。应选D。

6.提示:应选D。

7.提示:当P与D1重合时,CP∥BA1,即所 成 角 为0°;当P与A重 合 时,CA∥A1C1,△A1BC1为正三角形,即所成角为60°。又异面直线所成角为(0°,90°],故选D。

8.提示:应选A。

9.提示:应选D。

10.提示:在A 中,若m⊂α,则直线m和平面β可能垂直,也可能平行或相交,A 不正确。在B 中,直线m与直线n的关系不确定,可能平行,也可能相交或异面,B 不正确。在C中,若m⊥β,则m∥α或m⊂α,又m⊄α,故m∥α,C 正确。在D 中,缺少条件n⊂β,D 不正确。应选C。

11.提示:当直线l与平面α相交时,直线l与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线,A 正确。该平面内不存在与直线l平行的直线,B 错误。该平面内有无数条直线与直线l垂直,C 错误。平面α内的直线与直线l可能异面,D 错误。应选A。

12.提示:对于A,若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,A 错误。对于B,在正方体ABCD-A'B'C'D'中(图略),设平面ABCD为平面α,平面CDD'C'为平面β,直线BB'为直线m,直线A'B为直线n,则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线n与m不垂直,B错误。对于C,设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,由m∥α,m⊂γ,α∩γ=a,可得m∥a,同理可得m∥b。所以a∥b。因为b⊂β,a⊄β,所以a∥β。又α∩β=l,a⊂α,所以a∥l,所以l∥m,C正确。对于D,在正方体ABCDA'B'C'D'中,设平面ABCD为平面α,平面ABB'A'为平面β,平面CDD'C'为平面γ,则α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC⊂平面ABCD,D 错误。应选C。

13.提示:若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则可能m⊥n,m∥n或m,n异面,A 错误。若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,B 错误。若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,平行或垂直,C错误。若m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,D 正确。应选D。

14.提示:应选B。

15.提示:应选C。

16.提示:根据异面直线的定义,分析正方体中各棱的位置关系,与一条棱异面的棱有4 条,由此得到蚂蚁的位置。 由正方体ABCD-A1B1C1D1可知,与直线AB异面的有直线A1D1,B1C1,CC1,DD1,即4 条。蚂蚁从A点出发,走进的第n+2 条棱与第n条棱是异面的,如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A,所以按照此走法,每次要走6条棱,才回到起点。因为2016÷6=336(个)循环,所以这只蚂蚁走过第2016条棱之后的位置是在A处。应选B。

二、填空题

17.提示:因为直线l⊥平面β,平面α⊥平面β,所以直线l∥平面α或l⊂平面α。

18.提示:m∥n或m,n异 面,①错 误。易知②正确。m∥β或m⊂β,③错误。α∥β或α与β相交,④错误。答案为②。

19.提示:对于①,若α∥β,m⊥α,l⊂β,则m⊥l,①正确。对于②,若α⊥β,则m∥l,m⊥l或m与l异面,②错误。 对于③,若m⊥l,则α⊥β或α与β相交,③错误。对于④,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β,④正确。答案为①④。

20.提示:利用线面平行与垂直的性质及直线与平面所成的角,可知①正确,②正确,③错误,④错误。答案为①②。

21.提示:因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC。 又E是AD的中点,所以F是CD的 中 点。 在Rt △DEF中,由DE=DF=1,可得EF= 2。

22.提示:答案为②④⑤。

23.提示:A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平 面AD1C1B,C1∉AM,因此直线AM与CC1是异面直线,同理可知,AM与BN是异面直线,AM与DD1是异面直线,①②错误,④正确。M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,B∉MB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确。答案为③④。

24.提示:答案为①③④。

25.提示:①C1M和AC是异面直线,①错误。 易知②正确。 ③因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以AC∥A1C1,所以∠BC1A1是BC1与AC的 所 成 角。 由 于BC1=A1C1=A1B,所 以∠BC1A1=60°,③正确。④由BC1∥MN,且长度不相等,可延长C1M,BN交于O点,因为O∈C1M,O∈BN,所以O∈平面A1B1C1D1,O∈平面ABB1A1。又因为平面A1B1C1D1∩平面ABB1A1=B1A1,所以O∈B1A1,④正确。答案为②④。

三、解答题

26.提 示:(1)易 证EH∥FG且EH≠FG,则四边形EFGH是梯形。

(2)由(1)知EF与HG相交,设EF∩HG=K。因为K∈EF,EF⊂平面ABC,所以K∈平面ABC。 同理可知,K∈平面ACD。又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,即EF和GH的交点在直线AC上。故AC,EF,GH三条直线相交于同一点。

27.提示:(1)取PD的中点为G。

因为F是CE的中点,所以FG是梯形CDPE的 中 位 线。 因 为CD=3PE,所 以FG=2PE,FG∥CD。因为CD∥AB,AB=2PE,所以AB∥FG,AB=FG,即四边形ABFG是平行四边形,所以BF∥AG。 又BF⊄平 面ADP,AG⊂平 面ADP,所 以BF∥平面ADP。

(2)延长AO交CD于M。

因为BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,所以四边形ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE。所以,所以四边形DMFG为平行四边形,所以FM∥PD。 因 为PD⊥平 面ABCD,所 以FM⊥平 面ABCD,所 以FM⊥BD。 因 为AM∩FM=M,所 以BD⊥平 面AMF,即BD⊥平面AOF。

28.提示:(1)在棱C1D1上取点N,使D1N=A1M=1。 因为D1N∥A1M,所以MN∥A1D1∥AD,所以四边形AMND为平行四边形,所以AM∥DN。

过C1作C1E∥DN交CD于E,所 以DN∥平面BC1E,AM∥平面BC1E,所以平面BC1E即为所求,此时CE=1。

(2)由(1)知,AM∥平面BC1E,所以VM-BC1E=VA-BC1E=VC1-ABE=6。

29.提示:(1)因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PC⊥底面ABCD,且PC=2,所以PC⊥BC,PC⊥DC,所以S△PCD=S△PCB=1,PB=PD= 5。

因为AB⊥CB,AB⊥PC,所以AB⊥平面PCB,所 以AB⊥PB,所 以S△PAB=。同理可得,

又S正方形ABCD=1,所以SP-ABCD=S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PCB=3+ 5。

(2)在棱PC上存在点E,且当E是PC的中点时,AP∥平面BDE。

令AC与BD交于点O,在△ACP中,O,E分 别 为AC,PC的 中 点,所 以OE∥AP。又OE⊂平面BDE,AP⊄平面BDE,所以AP∥平面BDE。

30.提示:(1)取AC的中点为O。

因为BA=BC,所以AC⊥OB。 因为AD=CD,所以AC⊥OD。

因为OD∩OB=O,所 以AC⊥平 面OBD。又BD⊂平面OBD,所以AC⊥BD。

(2)由题意可知,当四面体ABCD的体积最大时,平面DAC⊥平面ABC。

因为DO⊥AC,所以DO⊥平面ABC。又OB⊂平面ABC,所以DO⊥OB。

因为DA=DC=3 2,AC=6,AB=BC=5,所以OD==3,OB==4,所以DB=OB2+OD2=5。因为BC=5,所以在等腰△BCD中,CD边上的高,所以

设点A到平面BCD的距离为d,所以,即,所以,即点A到平面BCD的距离为

31.提示:(1)作DH⊥EF,垂足为H。

因为平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,所以DH⊥平面EBCF。又因为EG⊂平面EBCF,所以EG⊥DH。当x=2时,AE=2,BG==2,所以BE=BG。因为EH=AD==BG,EF∥BC,∠EBC=90°,所以四边形BGHE为 正 方 形,所 以EG⊥BH。 又 因 为BH、DH⊂平面DBH,且BH∩DH=H,所以EG⊥平面DBH。故EG⊥BD。

(2)因为AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,所以AE⊥平面EBCF。

结合DH⊥平面EBCF,得AE∥DH,所以四边形AEHD是矩形,得DH=AE,故以F,B,C,D为顶点的三棱锥D-BCF的高为DH=AE=x。 因 为S△BCF=BC·,所以三棱锥D-BCF的体积V=f(x)=。所以当x=2时,f(x)取最大值

(3)由(2)知当f(x)取最大值时,AE=2,故BE=2,结合DH∥AE,可得∠BDH或其补角是异面直线AE与BD所成的角。在Rt △BEH中,BH=。因为DH⊥平面EBCF,BH⊂平面EBCF,所以DH⊥BH。在Rt△BDH中,BD=, 所 以cos∠BDH=,即异面直线AE与BD所成角的余弦值为