直线方程的“关系学”

■隋俊礼

直线方程怎么求? 利用 “关系”是关键。平行关系,垂直关系,相交关系等都是求解直线方程的突破口,下面举例说明。

一、利用平行关系求直线方程

例1求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。

解法1：因为已知直线的斜率为,所求直线与已知直线平行,所以所求直线的斜率也是-。根据点斜式,可得所求直线的方程为2x+3y+10=0。

解法2：设与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+λ=0(λ≠5)。由于此直线过点A(1,-4),所以2×1+3×(-4)+λ=0,解得λ=10,可得所求的直线方程为2x+3y+10=0。

说明：一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C),其中λ为待定系数。

二、利用垂直关系求直线方程

例2求过点A(2,-3)且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程。

解法1：由直线2x+y-3=0的斜率为-2,可得其垂线的斜率为,所以所求直线的方程为x-2y-8=0。

解法2：设所求垂线的方程为x-2y+c=0。因为此直线过点A(2,-3),所以2+6+c=0,即c=-8。故与2x+y-3=0垂直的直线方程为x-2y-8=0。

说明：解法1采用的是直接法,解法2采用的是待定系数法,这两种方法同学们都必须熟练掌握。

三、求经过两条直线交点的直线方程

例3直线l经过原点,且经过另外两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,求直线l的方程。

解法1：由题意可得由此解得交点为(-1,-2)。又该直线过原点(0,0),所以所求直线l的方程为y=2x。

解法2：设经过两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0 交点的直线系方程为(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0。该直线过原点,将点(0,0)代入可得λ=8。故所求直线l的方程为2x-y=0。

说明：已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 相交,经过两条相交直线的交点的直线系(不含l2)方程为,当λ=0时表示直线l1,注意此方程不能表示直线l2。

四、利用距离公式求直线方程

例4过A(-4,0),B(0,-3)两点作两条平行线,求满足下列条件的两条直线方程:两条平行线间的距离为4。

解：当两条直线的斜率不存在时,直线方程分别为x=-4,x=0,这时满足题意;

当两条直线的斜率存在时,设直线方程分别为y=k(x+4),y=kx-3,即kx-y+4k=0,kx-y-3=0。由题意可得,解得,可知所求的直线方程分别为

说明：求直线方程,往往会忽视斜率不存在这种 “特例”而产生漏解,数形结合法可帮助我们突破这个思维误区。