数学课堂中的预设与生成

江苏省运河高等师范学校 (221300)

田彦军

新课标提出：“数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.”这要求数学课堂要更加开放和包容.课堂教学是动态的、生成的，预设和生成是否精彩是检验一堂好课的标准之一.

一、精彩的生成需要精心的预设

预设是进行合理的教学设计所必须的重要环节.教师必须在教学设计之前考虑学生的学情，考虑知识的前后联系，考虑到课堂可能出现的突发状况.这就是我们平时常说的：“备课不仅要备教材，还要备学生、备教法．”只有考虑周全，才能做到精心预设.否则，教师在课堂上就有可能因为突发状况出现“挂黑板”的情况.为了避免尴尬的场面发生，所以每一位教师要注重预设.

案例1椭圆习题课

问题情境：当b为何值时，直线l:y=x+b与椭圆4x2+y2=4有一个交点？有两个交点？没有交点？(自主先学)

生1:将直线的方程和椭圆的方程联立方程组，解方程组即可.(代数法)

教师在学生利用代数的方法解决问题后，对这种方法进行了总结，强调了解题过程的书写规范性.

生2:能不能仿照直线与圆的位置关系，利用几何法进行求解.(几何法)

教师觉得学生的想法非常不错，这是一个非常好的生成资源，决定引导学生进行探究.让学生利用图形，根据直线在y轴截距b的位置不同，判断直线与椭圆的位置关系，从而求b的取值范围.

生3：能不能利用直线上任意一点M到两个焦点的距离与2a的大小关系进行比较，判断直线与椭圆相切、相交、相离.

全班学生对这位同学的想法都竖起了大拇指，认为这位同学的方法实在是太好了.教师依然决定让学生按照这位同学的方法进行探究，利用直线上任意一点M到两个焦点的距离等于(小于、大于)2a相切(相交、相离)，求出b的取值范围.

生4：能不能将椭圆变成圆来求解，因为椭圆是由圆压缩得到的，所以也可以把圆还原回去.把椭圆的方程变成(x′)2+(y′)2=1，直线的方程变为y′=2x′+b，只要求新的直线与圆的位置关系即可.(此时掌声不断)

数学教学是教师与学生、学生与学生的思想在课堂相互交流、补充的过程，彼此分享知识和经验的过程，是一个动态的数学学习的过程，是一个不断生成的过程.看似生成的方法很“意外”，其实追根溯源在教材上都能找到其背景.直线与椭圆的位置关系的判断的方法源于直线与圆的位置关系的判断方法.代数法是比较常见的方法，学生比较容易想到；几何法也是比较常见的方法，但是这与直线与圆的位置关系中的几何法还是有区别的；生3的方法把判断点与椭圆的位置关系的方法迁移到这里来；生4的方法源于课本一道例题，那里是把圆压缩成椭圆，这里反其道行之.因此，精彩的生成背后，离不开精心的预设.

如何能做到精心预设？第一，一个好的数学问题应当具有较强的探索性.正如波利亚所说：“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神”.第二，具有一定的启示意义.也就是说，应该有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法.第三，具有多种解法.冲破定式思维，才能创造性的解决问题.

二、动态生成的精心预设的必然

课堂教学是一个动态的、生成的过程，再精心的预设也无法预料学生的全部的想法．在实际的课堂教学中，难免会发生意外的情况，教师对于学生的想法根本没有预料到.一旦出现意外情况，教师要沉着冷静，随机应变，不能一味地朝着预设好的问题上引导，忽视学生的想法，而应该善于抓住学生的意外的“生成”，也许它将会成为我们课堂上的一个亮点!

案例2等比数列求和公式

师：相传古代国王要奖赏国际象棋发明者，问他想要什么？发明者说：“陛下！您只要按照我的要求在棋盘上放满麦粒就行了.在棋盘的第一个格子上放1粒，在第二个格子上放2粒，在第三个格子上放4粒，以此类推，放满棋盘的64个格子即可”.国王心想：这个人不要金银财宝，只要麦粒，这有什么难的.于是，国王立即下令按照发明者的要求放麦粒.请问：国王能够满足发明者的要求吗？

教师给学生创设有趣的问题情境，让学生带着疑问去探究：国王到底要给发明者多少麦粒？这样不仅激发了学生探究的热情，而且主动投入到探究、讨论中去.

生1：按照发明者的要求，放满整个棋盘的麦粒总数为S=1+2+22+…+263①，

然后将上式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+…+264②，

再②-①利用错位相减法得2S-S=264-1,从而求出S.

这种方法是大部分同学的方法，因为课本上给出的推导等比数列求和公式的方法就是错位相减法.但是，在交流展示的过程中，有一位同学给出了一种方法，令我们所有的同学都感到惊讶.

生2：放满整个棋盘的麦粒总数为S=1+2+22+…+263，将上式改写成1+2+22+…+263+264=1+2(1+2+22+…+263)，即S+264=1+2S,从而求得S.

这种方法可以说是本节课的意外的收获，充分体现了学生思维的敏捷性和灵活性.与错位相减法相比，显得更容易接受和理解，不像错位相减法显得突然.所以，永远不要低估学生的能力，只要留给学生充足、自由思考时间，你就会收获意想不到的精彩.弗赖登塔尔说：“数学教学核心是学生再创造，即数学学习事实上不是机械去重复历史中‘原始创造’，而应根据学生自己体验，并用自己的思维方式重新创造有关数学知识．”因此，在课堂教学中，不可能完全按照教师的预设好的思路进行，只有生成的课堂中才是有生命力的.

三、生成与预设相辅相成

数学课堂教学的过程中既要重视学生学习知识的效率，又要注重学生在学习过程中的体验过程和质量，但是生成对教学目标的完成各有利弊.所以，实际上我们的课堂教学一直在努力追寻预设与生成之间的一种和谐，准确地抓住生成的时机和资源，能够在很大的程度上提高教学的有效性．

案例3交集、并集

创设情境：学校举办了排球赛，13理科1班61名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？

这是课本上一道习题改编的，既考虑到学生的最近发展区，又考虑到学生的学习兴趣.教师想通过这样一道题，精心为学生预设好本节课所要学习和掌握的知识.学生主要探究、讨论什么是交集和并集？如何利用三种语言表示交集和并集？交集和并集有哪些性质？如果记A={参加排球比赛的同学}，B={参加田径比赛的同学}，U={13级理科1班同学}，而且还能有一个意外的发现CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)，这就是一个很自然的生成.学生的思维如果继续延伸下去的话，就应该能想到CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)，这就是伟大的摩根定律.当然有的同学也可能发现容斥原理Card(A∪B)=CardA+CardB-Card(A∩B).

所以，预设和生成是相辅相成的.我们的课堂教学不应只是为了完成教学任务，更应关注课堂预设与生成的关系，善于抓住学生的一些思维火花，多给学生展现自我的机会，激发他们强烈的学习数学的动机.在课堂教学中，教师能够多一些高质量的预设，学生就会给你一些意想不到的生成，就会展现出课堂的精彩，就会把培养学生的数学学科核心素养的目标落到实处.