运用四维心理视角分析解决数学问题*

□姬梁飞

（华中科技大学教育科学研究院，湖北武汉 430074）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出“四能”课程目标，从数学视角培养学生发现、提出、分析及解决问题的能力[1].解决问题并非单纯的智力活动，也是一种心理分析活动或认知操作过程.波利亚认为，把解题活动看成纯粹的“智力活动”是错误的，它也是一种意志教育，决心与情绪起到了重要作用，学生若没有机会体会到由解题活动带来的各种情绪变化，那么这种数学教育是失败的[2].所以，解决问题活动具有创造性与目的性，并受以思考和探索为主导下心理活动的影响.本文围绕四个维度，从双向、双示、双联、双维等视角，探究数学问题解决的心理思维过程，为问题解决提供一种理解和视角.

一、目标导向：直接与迂回

解决问题具有强烈的目标意识，正是问题的现状与目标之间的断层引发了个体内部心理认知的矛盾冲突.良好的目标导向能够激发个体积极的心理状态，利用目标导向设计问题的解决方案，产生自觉探索、主动思考、克服困难的心理倾向.维果茨基提出的“最近发展区”理论，将学生发展的可能性和目标锁定在最近发展区，它是学生有可能做到，但又不能独立完成的那个区域.如果目标不明确，往往导致耗时耗力，或劳而无功.利用目标导向，需要分清“欲求量”和“已知量”之间的关联，“欲求量”是目标，“已知量”是手段.在“欲求量”或“已知量”的周围寻找出“相邻近量”，选用“相邻近量”打通两者的联系.同时，设计合理的解决方案或途径，需要把握两条目标路线.第一种是直接路线，从问题的已有条件入手，选择正面解决问题.第二种是迂回路线，从问题的结果或结论入手，采用间接的或曲径通幽的，甚至是反面思考的方式解决问题.

依据问题的存在形式，问题分为原始形式、过渡形式和目标形式.问题解决可以从原始形式开始，也可以从目标形式开始，然后寻找适当方法或路径建构过渡形式，完成问题形式的合理转化.比如，方程和不等式问题可以选择函数思想方法去解决，讨论方程根的问题可以构造辅助函数来解决，研究函数、方程、不等式之间的联系可以运用图象、数形结合的方法来解决.

例1已知m＞0,n＞0，求证

一般地，问题的条件与结论是相辅相成的，可以根据条件论证结论，反之，也可以根据结论印证条件.如果条件简明充分，求解思路清晰顺畅，则可选直接路线，寻找相关中间量，由条件推证结论.如果结论过于繁杂，或已知条件无从下手，则可选迂回路线.其中常用的是反面思考策略，利用排除法、逆推法、反例法、反证法等方式求解.比如求证不可能是等比数列中的三项，可假设其成立，然后寻找矛盾（推理结果和已知条件，已知公理、定义、定理产生矛盾，或从两个不同角度得到的结论不一致等），从而间接解决问题.利用目标导向是应用已有的知识经验去探索新情境中的问题，挖掘现有问题形态和欲达到的目标形态间隐藏的关系.从而拓展两种形态间相互转化的路径，缩短“已知量”和“欲求量”的距离，引导个体积极主动的心理思维过程，这也是目标导向解决问题的优势所在.

二、模式识别：内容与形式

英国数学教育家怀海特认为数学是一门关于模式的科学，本质特征就是在对模式化的个体进行抽象，并在这个过程中研究其模式[3].解决数学问题需要具备一定的识别能力，能够识别研究对象的数学模式.苏联数学家塔尔塔科夫斯基曾经把解决问题类比为“捕捉藏在石头堆里耗子”，他认为捕捉石头堆里的耗子有两种办法.其一，将石头堆的石块不断地移开，直到露出老鼠.其二，围绕石头堆，留心观察四周的石头，是否有从石头缝里露出的老鼠尾巴.若一旦发现，就抓住尾巴，将其从石头堆里拖出来.

识别数学模式，有助于快速捕捉隐含信息，准确认识问题，有时哪怕仅前进了微小的几步，但却极大地推动问题的解决.数学模式可以从内容和形式等两方面去识别，分析其内涵结构，观察呈现形式.根据内容与形式，在新情境中促成概念的形成与同化.只有培养敏锐的观察与识别能力，才能充分挖掘必要信息，从本质上认识问题和解决问题.模式识别，需要发挥数学问题模式的明示与暗示功能.明示与暗示是一种普遍的心理现象，是个体与环境进行信息交流的媒介，有时是直白的形式，有时是含蓄的方式，这些都需要个体用心去观察和领悟.问题模式的明示功能具有提示数学概念、数学结构、数学关系等典型特征的作用，暗示是通过特有的条件、结论、数据、关系、结构、表达式等方式，为个体传递某种隐含信息，指引某种恰当的思维方法，或有助于个体提出新方案、新方法的感应媒介，它具有开拓个体潜力、提升其想象力和创造力的作用.它们是发现、分析问题模式的显性途径和隐性工具，两者相辅相成、相互配合，能够为识别数学模式提供线索与思路，是引导个体直觉思维与发散思维的诱因.

例2已知函数，求ω=的值.

领会明示与暗示，有助于问题的高效解决，个体心理体验也会得到延伸与升华，对心理和行为产生积极影响.识别数学模式，需要洞察其内容与形式，开发问题解决中的明示与暗示功能，感悟数学问题的表达艺术，或以形传神，或形神结合，或以虚见实，或虚实相生，不一而足.

三、方法调试：联系与猜想

美国数学家柯朗认为，无论是普通人还是科学家，唯一能够回答数学是什么的问题，答案不是其他，而是数学本身具有的鲜活经验[4].美国数学家克莱恩认为，数学的发展正是利用直觉洞察与经验发现一些合适的形式结构，并对这些形式结构给予演绎分析，建立结构之间的联系[5].数学是关于结构与关系的科学.一方面，数学的诞生与数学思想文化的形成都起源于实践经验，既含有人类思想文化、理性精神的痕迹，又带着自身意志、心理活动的烙印.另一方面，不论是形式主义、逻辑主义，还是直觉主义，这三大流派都认为数学是关于数量、空间形式的一种结构与关系.

首先，数学与环境建立一种联系.数学来源于实践，它既是客观事物的反映，又为人们优化认知策略.比如，几何为人们刻画空间结构形式，代数为人类生活提供便利，函数描述客观物体的运动状态，概率与极限揭示微观世界与宏观世界的联系与奥妙等.从心理学角度看，解决问题时，人的认识活动需要同化与顺应，在已有知识框架上进行必要的重建和优化，建构新的理解视角.其次，数学是一种关于关系与结构的科学.数学知识不是无序的堆积，而是一种内在的联系和结构体系.在组织方法上，它需要归纳与综合，建构知识系统，形成或扩充一个排列有序、层次分明、条理清晰的知识网络.只有扎实的基础知识、熟练驾驭知识的能力，才有解决问题的可能，是寻找可行方案的前提.在调试方法上，它需要联系生活，联系外部环境，具有跨学科的知识视野，多角度地积累经验，从知识的联系点、生长点、交融处选择解决问题的方法.在选择与调试方法过程中，需要调控心理活动过程，既需要对各种途径进行试误式的筛选，又需要突然受某种启发的顿悟式的抉择.不论是试误还是顿悟，都需要经过多角度联系，或相似联想，或大胆猜想等探究式思考的过程.

例3某社区委员会打算组织本社区青少年进行户外登山运动，想了解青少年参加意愿与性别之间的关联.问题：有多大把握认为本社区青少年参加户外登山运动的意愿和性别有关？

解决方案：这是一个关于应用统计的数学问题，联系社区实际情况，可选择抽样调查.若猜想或假设青少年参加意愿与性别有关的话，可结合已有数学知识储备，采用独立性检验的统计方法.首先，采用分层抽样方法从该社区调查了300位青少年，调查结果：愿意参加的225人（男：165人；女：60人）；不愿意参加的75人（男：45人；女：30人）.其次，计算卡方统计量参考独立性检验临界值表，所以有95%的把握认为该社区青少年户外登山意愿与性别有关.可见，数学作为一门语言学科，可以选择数据统计方法来描述事物间的结构关系.通过数据统计，为人们提供验证事物间关系的方法和事物变化关系的数据信息.

世界是一个矛盾综合体，人的思维矛盾和心理“阻碍”无时无处不在.数学问题不过是人们在探索世界的过程中所产生的一种心理“阻碍”的延展与感知.解决数学问题就是打通这种心理“阻碍”，以多元的视角，不分畛域地看待问题，选择合适的方法去化解或突破问题.所以，在问题解决的认知过程中，数学作为人类思维结构与心理活动的产物，需要有意识地监控、调节心理活动进程与方向，以便更积极自觉地调试方法、组织策略、操作进程.

四、思维变换：升维与降维

良好的心理调试与监控能够依据现有环境及问题解决的需要，对自身的心理认知活动加以调节和管控，以便更好地指导思维方向、调整思维策略、监控信息交流进程等.阿达玛认为，应切实加强自觉思维活动，正是有意识的活动开动了无意识的思维机器[6].思维能力是问题解决的关键所在，常见的思维变换有升维和降维.升维就是在原有知识框架基础上，建构新的知识体系，从特殊到一般、从部分到整体、从具体到抽象、从简易逻辑到公理化系统，实现心理思维的领会与同化.比如，用字母表示数及其运算，由于字母的“任意性”，使得运算由静止走向动态，由单一走向多元，从而由单调的算术走向完备的代数，为引进函数概念奠定基础.降维是对抽象复杂事物进行合理的分解、重组、变形等操作，将其降解为简单的事物，然后利用已有的、成熟的方法进行解决.比如，空间的局部问题可以降维为平面问题，高次运算问题可以降幂为低次问题，超越问题可以降级为同解问题等.

例4已知函数2x在R上是增函数，求m的取值范围.

剖析：求导得g'(x)=cos2x+msinx+2，由于三角函数运算的特殊性，需要换算为同名函数，即g'(x)=-2sin2x+msinx+3.此时需要思维变换，可以进行降维，设sinx=t,t∈[-1,1]，则问题等价于g'(x)=-2t2+mt+3≥0.再进行升维变换，将其看成一个关于自变量为t的二次函数ϕ(t)=-2t2+mt+3.这是一条在[-1,1]上，开口向下的抛物线弧段，只需使其判别式Δ=m2+24＞0，ϕ(-1)≥0,ϕ(1)≥0即可，故m∈[-1,1].在问题解决过程中，遇到阻碍或困难，个体并不是无方向的胡思乱想，更不是不知变通地钻牛角尖，而是自觉地应用内在动机和心向引导思维发展方向与进程，积极提取信息，组织策略，选择最佳路径.

综上所述，心理活动是调节、组织、监控认知策略的主要因素，对反省认知、反馈认知、调控认知有着重要作用.目标导向，聚焦问题关键特征，准确判断事物发展方向，有机组合认知策略.模式识别，挖掘题设、结论、结构、数据等或明或暗的信息，提升个体敏锐的洞察能力，既是一种思维的顿悟，也是一种心灵的碰撞，一种意念的感知.方法调试，联系问题内外环境，完善个体认知结构，利用相似联想进行问题迁移，进而选择合适方法，发展个体发散性思维.思维变换，为了思维不受阻，合理地评估问题、研究问题，进行升维和降维转换，解除不必要的心理障碍.探索问题解决的心理思维机制，引导问题的发展和迁移，提升数学思维品质，优化解决问题策略，既是一项深刻而又含蓄的艺术，又是一种发展心理思维的教育智慧 .