利用旋转妙解正方形问题

黄日坤

正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性.因此，在正方形中的线段证明和计算等问题上，利用旋转变换可巧妙地拼接图形，使条件发生转化，以达到化难为易的目的.现举例如下.

例1 如图1所示，已知E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC交CD于F，求证：BE=AE+CF.

【分析】把△ABE绕点B顺时针旋转90°，AB与BC重合，再根据条件证明∠GBF=∠BFG可得到BG=GF，可证得结论.

证明：如图2，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，设△CBG是旋转后的△ABE，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG，BE=BG，∠ABE=∠CBG.

∵BF是∠EBC的角平分线，∴∠EBF=∠FBC，∴∠ABE+∠EBF=∠GBC+∠FBC，∴∠ABF=∠FBG.

∵正方形ABCD，∴AB[?]CD，∴∠ABF=∠BFG，∴∠GBF=∠BFG，∴BG=GF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，BG=BE，∴BE=AE+CF.

【点拨】通过旋转把AE和CF移到同一条线段上，再证明该线段与BE相等是解题的关键.证明线段的和差关系时主要就是截或接.

例2 如图3，P是正方形ABCD内的一点，AP=1，PB=[2]，∠APB=135°，求PC的长.

【分析】求PC的长可通过构建直角三角形，利用勾股定理求出，但已知条件与PC不在同一三角形，必须通过旋转作辅助线构造出包含PC与已知条件的直角三角形。

解：把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BMA，如图4所示，点C的对应点与A重合，连接PM，由旋转得：PB=BM=[2]，∠PBM=90°，PC=AM，∴∠BPM=45°，

由勾股定理得：PM=[BM2+PB2]=[2+2]=2，

∵∠APB=135°，∴∠APM=135°-45°=90°，

在Rt△APM中，AP=1，由勾股定理得：AM=[PM2+AP2=22+12]=[5]，

∴PC=AM=[5].

【點拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理等，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，再利用勾股定理求解.

小试牛刀

如图5，正方形ABCD中，E，F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.