复习课的关键：学生的困惑在哪里

作业是承载学习内容、体现学习方式、实施过程性评价的任务。作业改革的本质是对作业功能的拓展。浙江省特级教师刘善娜主持的“发展高阶思维的小学数学探究性作业”的研究是作业改革典型的代表。数学探究性作业关注过程性表达，关注思考过程的自我审视与反思。团队在总结前期成果和推广应用的基础上，又启动了探究性作业与课堂教学的融合研究。研究将数学作业融汇到数学学习的全过程中，以促使课堂真正体现自主、合作、探究等学习方式，让学生对数学知识进行自我建构，在多样式的作业体验中提高问题解决能力和自主创新能力，进而发展高阶思维。作为2018年教育部全国教育科研“十三五”规划课题的阶段性成果，本刊特选取部分课例，供学习讨论。

复习课，需要体现三个功能：梳理知识、查漏补缺、拓展提升。面对加、减、乘、除四则运算的复习整理内容，学生需要回顾和进一步理解四则运算的意义，厘清四则运算的顺序，分析解决较为复杂的“租船问题”。基于复习课的功能与该单元的内容特征，笔者对此课进行了两次打磨，在改课的过程中，感受到基于学生困惑的教学才是更有效的复习路径。笔者就此课的几个重要片段的改进做以下阐述。

改课一：自主探究环节——2分钟复习与课前自主复习

【原课设计】看书复习，梳理成块

1.带着问题复习。

师：同学们，这节课我们一起来复习第一单元《四则运算》。请大家带着下面这两个问题快速看书第2-10页。

出示问题：

①这一单元，我们学习了哪些内容？②看书后，哪些知识让你觉得理解起来有困难？

2.学生看书，教师巡视并组织交流。

【改进设计】课前探究，复习梳理

出示《四则运算》探究性复习单。

[这一单元知识分三大部分 让我写一写——这一部分内容的重点知识（细细看数学书上的例题） 让我写一写——这一部分内容中，我看不懂的话，不太会解的题，或者想问的问题（细细看数学书和作业本中的错题） 意义与关系 加、减法的意义与各部分关系 乘、除法的意义与各部分关系 混合运算顺序（括号） 解决问题 ]

【改进与思考】

原课的设计是比赛课的设计，节奏快，看起来非常漂亮，挖得深、联得巧，得到评委的一致認可。因为不能课前接触学生，所以笔者安排了通过看书质疑的环节来体现复习课“回顾旧知，查漏补缺”的功能。但是，仅用短短的2分钟时间翻看数学书，学生的回顾并不全面，他们一时也难以发现自己的困难。因此，教师只能在巡视中暗示个别学生提问“逆运算”怎么理解来推进后续教学。如此一来，所有的困难都是教师主观的预判。学生觉得有难度的题是什么？学生的困难是什么？有没有办法让学生呈现自己的困难？当课堂回归常态，笔者就通过做一份前置性探究作业，借助两个“让我写一写”的温馨提示，让学生看一看书，看一看错题，先进行一次较为充分的自主复习。

改课二：复习“意义与关系”板块——线性分步推进与大问题下的块状推进

【原课设计】

1.抓住“逆运算”梳理含义。

师：关于四则运算的意义与关系，大家有什么问题吗？

生：为什么说减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算？

师：好问题，谁能解答？或者谁能举个例子说明？

生：7+2=9，9-2=7，9-7=2。

师：他举了一个很好的例子。如果用线段图来表示，7+2=9中的7，2分别写在哪里？9呢？是的，加法就是表示两个数合并成一个数的运算。

师板书：

[加数][加数][和][被减数][减数][差][9      -   2    =   7][9      -  7    =   2 ][7     +  2   =      9 ][合并][加法][逆运算][减法][7][2][9]

师：在加法里，7和2是（加数），9是（和）。如果现在求“7”，“？”应该打在哪里？减法表示什么意思？（已知两个加数的和是9，其中的一个加数是2，求另一个加数的运算，就是减法）加法中的一个加数成了差，另一个加数成了减数，和就成了被减数。

2.迁移自探“除法是乘法的逆运算”。

师：现在，大家能照样子说明为什么除法是乘法的逆运算吗？把想法写下来，汇报交流。

师板书：

[加法][减法][求几个相同的数的和][同数连减][除法][被除数][除数][商][因数][因数][积][4      ×     3   =    12][12   ÷       3   =     4][12   ÷      4     =     3][12][4][乘法][逆运算][逆运算][4+4+4=4×3]

（反思：整个过程对四则运算意义的梳理、各部分名称的学习非常巧妙地进行了融合，尤其是“除法是乘法的逆运算”完全放给学生来探究，课堂有了浓厚的“学生味”。尽管探究是建立在前一部分“减法是加法的逆运算”的基础上的，学生是仿学，但迁移就是重要的学习方法。所以，这一层的学习比较合理有效。）

3.打通减法与除法的关系。

师：四则运算之间除了加法和减法有联系，乘法和除法有联系，同学们还知道别的联系吗？

生：除法和减法也有联系。

生：6-2-2-2=0，6÷2=3。

師：除法中的3体现在哪里呢？

生：6里面减去了3个2。

生：乘法是同数连加，除法就是同数连减。

师：说得真好。你们觉得最基础的运算是什么运算？为什么？

生：加法！乘法是特殊的加法，减法是加法的逆运算，除法是特殊的减法。

4.及时跟进检验。

【改进设计】

1.观察比较中回顾旧知。

师：你们仔细地看一看，这三位同学对这一部分内容的梳理有什么相同的地方？

生：都写了加减乘除法的含义。

生：都有加减乘除法里各部分的名称。

师：轻轻地读一读，然后我们一起边说边用手势来表演一下加法的含义（两手合拢）。减法呢？乘法呢？除法呢？

（意图：对比，抓住“相同点”回顾旧知。通过手势表演，回忆加减乘除法的含义，并在有趣的手势表演过程中，让学生感受到加法和乘法相似，减法与除法相似。）

2.核心问题贯通加减乘除。

师：那你们觉得加减乘除里面，最基础的运算是什么？

生：加法！（学生异口同声）

师：为什么？（学生顿时安静）得讲道理是不是？可以举举例子，写一写，画一画，把道理说明白。

（学生思考，同桌交流，上台展示）

生：我是这样想的。加法是把两个数合并成一个数，3+3=6，减法就是6-3=3。因为乘法是求相同加数的和就是3×2=6。有了乘法，就有了除法6÷2=3。所以，加法是最基础的运算。大家能听明白吗？有什么问题吗？

生：不是所有加法都能变成乘法的，加数相同才可以。

生：我有补充，加法都能改写成减法，减法是加法的逆运算。除法是乘法的逆运算。

师：老师把你们的补充都写下来……谁还有不同的想法想要展示？

生：我是这样想的。我觉得除法也可以从减法过来。10-2-2-2-2-2=0就是10÷2=5。

师：他们讲的是同一件事情吗？减法式子里没看见“5”啊！

生：这里有5，10减去5个2，所以10÷2就等于5。

生：我还有补充，乘法是同数连加，除法就是同数连减。

师：你能举个同数连减的例子吗？

生：10-2-2-2-2-2=0，10÷2=5。

师：原来除法和减法之间也有这么亲密的关系。如果用线段图来表示它们之间的关系，这个问号怎么摆放，就能让大家看到加、减、乘、除法了呢？谁来试试？

板书：

[同数连加][同数连减][减法][除法][乘法][加法][互为逆运算][3][3][6][互为逆运算]

师（小结）：的确，加法是最基础的运算，加减乘除之间有着各种联系。它们碰在一块儿的时候，又会出来新的知识。

【改进与思考】

原课的设计，先以问题“减法是加法的逆运算是什么意思”来梳理加减法的含义、各部分名称与关系，然后让学生自己梳理“除法是乘法的逆运算是什么意思”，沟通减法与除法的联系，从而贯通四则运算之间的关系。虽有层层递进之感，但是每一步都“尽在掌握中”。改进后，教师在让学生手势表演四则运算的意义之后，以“加减乘除，最基础的运算是什么？为什么”为核心问题，激发学生运用所学旧知去“证明”，学生呈现的是开放、自主、有效的学习过程。

改课三：复习“运算顺序、解决问题”板块与练习环节——预估难点设计练习与来自学生的问题

【原课设计】

1.复习“混合运算顺序”。

（1）知识梳理。

师：加减乘除合起来就是四则运算。关于四则运算的运算顺序，我们学习了什么？

（2）错例分析，梳理运算顺序。

师：四则运算的运算顺序有这么多的规定，请大家做小老师，查查这两道题在这方面做得对不对。

（3）跟进强调运算顺序。

分3步走：根据文字用手势选择“树形图”;补充“求和”信息，进一步理解“树形图”与“综合算式”的关联;出示数据，写成综合算式并完成计算。

（分析：这几个跟进练习都做到了一题多用，都是针对学生的学习难点而设计的。所欠缺的就是教师认为“这个难，需要练”。）

2.复习“租船问题”。

师：那么什么是租船问题？一般怎么解决？

3.综合练习，拓展提升。

（分析：通过选择题进一步理解四则运算的意义，通过信息量大的租船问题引导学生自己提出问题、自己解决问题，感悟问题模型。）

【改进设计】

1.简单梳理另外两个板块的内容。

师：运算顺序，主要学习了与“括号”相关的知识。谁来汇报一下自己梳理的内容？（板书：从左往右、先乘除后加减、（）→[ ]→{ }）

师：在懂意义、懂关系、懂运算顺序后，就能“解决问题”了。（板书：租船问题）

师（小结）：同学们，内容的梳理复习，可以抓住书上的大小标题、例题把知识先罗列出来，然后抓住它们之间的联系把知识串起来，最后想想自己还有什么不明白的地方。

2.查漏补缺，基于学情推进。

师：关于这一单元，我发现大家主要有这些问题。

第一类是式子中有符号，如○、△或者□等图形符号表示一个数，利用加减乘除之间的关系把它们求出来。这两道题怎么解答？谁有秘诀？

第二类是几个分步算式改写成一个综合算式的题目，这类题目跟“运算顺序”知识相关。谁能明白下面两题中的问题？说说你的好办法。

第三类是租船问题。这些是大家觉得比较难的问题，每个同学选一道来做。

校对答案后，出示上述问题中的“为什么租船问题不只有租船？怎样的问题是租船问题？”一题，请学生讨论交流。

生：租船问题都有两种选择，一种价格比较便宜，但是座位数量比较大，一种价格贵一点，但是座位数量小一点。

生：一般都是先选择大的，每个人需要支付的钱比较便宜。但是如果空位很多，也就不合算了。先坐满，剩下的去选小的。

生：要看具体的数量，尽量不要有空位，一空就是浪费，就贵了。

师：大家用自己能明白的话，从问题的特点到解答的方法把这类问题的共同之处说得很有道理。

【改进与思考】

在无法了解学情的情况下，教师不得不进行学情预估，然后设计针对性的跟进练习与综合练习。但是，日常的复习课，完全可以基于真实的学情去设计练习。教师在设计复习单的时候，就需要留好展示学生“疑惑”的空间。复习课的练习，查漏补缺、拓展提升，可站在学生的“疑惑”处讨论、交流彼此的妙招，利用学生的“疑惑”来推进练习，提升能力。学生的困惑在哪里，了解、把握、利用好学生的困惑，是复习课有效与否的关键。

（浙江省宁波市奉化区实验小学   315500）