高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题*

江苏省扬州大学数学科学学院(225002) 于丹丹 濮安山

一、直接求导，确定参数范围

在做过大量函数相关问题后，学生们一定会意识到求导对于这类题型的重要性，一般情况下，“求导”的步骤是学生们一定会想到的，然而求导后呢，该如何判断和处理呢?

(一)参数看成已知，根据极值点判断

例1已知函数f(x) = a(x2-1)-ln x，若f(x) ≥0，在[1,+∞)上恒成立，求a 范围.

思路探索f(x) ≥0 在[1,+∞)上恒成立，那么就可以转化为在[1,+∞)求函数f(x)的最小值， 使其最小值大于等于零即可.求函数最大值问题，也就是对该函数求导，之后观察导函数，确定极值点，通过极值点与x 的取值范围确定参数范围进行讨论，进而判断函数取最大值时x 的值，从而求出参数范围.

解

1)当a ≤0 时，f′(x) ＜0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，当x ＞1 时，则有f(x)＜f(1)=0，与题干矛盾，舍去.

该题无需对原函数或是导函数进行变换转化， 直接进行求导， 通过观察导函数小于零(或大于零)， 对参数进行分情况讨论， 进而确定参数符合题意的范围.在09年全国高考II 卷(文) 中就有这样一道题： 已知函数-(1+a)x2+4ax+24a(a ＞1)，1)讨论f(x)的单调性; 2)x ≥0，f(x) ＞0 恒成立，求a 范围.这道题中的2)问采用的思路就是直接进行求导，观察导函数的形式，分情况讨论，从而确定参数的范围.其实这类函数的导函数都比较特殊，导函数中一般存在二次函数的形式，可以通过二次函数的特殊性，对参数进行分情况讨论，进而得出结论.这种策略是较为简单易懂的，若是导函数较为复杂该如何处理呢?我们看下面这样一道例题.

(二)充分理解题目，注意两问间联系

例2(2010年高考全国I 卷理科) 已知函数f(x) =ex-1-x-ax2.

1) a=0 时，求f(x)单调区间;

2) x ≥0 时，f(x)≥0 恒成立，求a 范围.

思路探索直接对这个函数求导，会发现，导函数中存在指数函数又存在一次函数，本身确定极值点很困难，更无法利用极值点来判断参数范围了，但是通过1)问中，我们可以得到f(0) = 0，再结合我们的原函数的导函数，选取对我们有用的信息，从而对参数分情况讨论，确定范围.

解1) a = 0 时，函数为f(x) = ex-1-x，导函数为f′(x) = ex-1，当x ∈(-∞,0)时，f′(x) ＜0，函数f(x)单调递减;当x ∈(0,+∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增.

2) 对原函数求导为f′(x)=ex-1-2ax，

①由1) 中知道ex≥1+x， 当且仅当x = 0 时等号成立(且ex为指数函数， 呈“爆炸”式增长).所以导函数f′(x) = ex-1-2ax ≥x-2ax = (1-2a)x， 且x ≥0.当1-2a ≥0， 即时， f′(x) ＞0， 函数f(x) 在区间[0,+∞)单调递增，则有当x ∈[0,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，符合题意;

②由ex＞1+x(x0)，可得e-x＞1-x(x0)，当1-2a ＜0，即时，f′(x) ＜ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)，故当x ∈(0,ln 2a)时，f′(x) ＜0，而f(0) = 0，于是当x ∈(0,ln 2a)时，f(0) ＜0 与题干矛盾.综上，

这类题型在高考中一般有两到三问的情况，且每一问并不是孤立的，随着问题的深入，是一步步递进的过程，存在一定连续性，有时前面一问的解答会为后面的问题提供一定的思路或是思考空间.因此，在做这类题目时，应将各个问题连贯起来，逐步推进，达到最优解题效率.

二、转化变换，构造函数

做这类题型几乎都需要求导来完成，学生们可能会产生一定的固定思维，就是面对该类函数问题，首先想到的就是对原函数求导，之后在进行下一步的判断.不是说这种方法不对，可以肯定的是，需要求导，然而具体在哪步求导，什么时候求导，求导的目的是什么，一定要做到“心中有数”，同时构造函数如何来构造呢?

(一)分离参数，构造新函数

分离参数是的一般想法就是将函数进行转换，将参量分离出来，之后将参量相对的另一侧构造成一个新的函数，根据参量大于等于(或小于等于)最大值(或最小值)的形式，转化为求构造函数的最值问题，进而求导，求出最值，解决该问题.

例3已知函数f(x)=x ln x.

1)讨论函数f(x)的单调性;

解1) 略.2) 由于恒成立， 所以成立， 等价于构造函数则令g′(x) = 0， 得所以当时， g′(x) ＜0，g(x) 单调递减; 当时， g′(x) ＞ 0， g(x)单调递增.所以函数g(x) 在处取得最小值， 即因此所求的k 的取值范围是(-∞,1-ln 2).

我们会注意到分离参数一般是构造一个新函数，那分离参数一定是仅构造一个函数吗?

例4已知函数f(x)=x ln x-mx2.

1)m=0，求f(x)的单调性;

解1) 略.2) 已知于是变形为从而即0 ＜ln x-mx ＜x-1， 整理得令则即g(x)在上是减函数.所以令则当时，h′(x) ＞0， 即h(x)单调递增; 当x ∈(e,e2)时， h′(x) ＜0，即h(x)单调递减.而所以因此m 的范围为

由此，对于该类解题运用分离参数的方式一般需要注意的有三点： 一是在分离参数的时候，一般不涉及不等式变号的问题;二是移项整理后，构造的新函数一定存在最大值或是最小值(这里的最值只要是闭区间中存在最值即可);三是在运算过程中是较为简洁易算的.满足以上三个条件即可运用分离参数的方法(说明： 第二个条件是必须满足的，第三个是最优解题要求).分离参数的方法中， 我们不应惯性思维，仅需构造一个函数才采用这个方法，应该根据题干条件，适当运用该方法，开拓思维.

(二)整体移项，构造差函数

构造差函数的思想是将不等式两端的式子均转化到一侧，形成大于零(或是小于零)的形式，之后构造新的函数，进而转化为求最值问题，在进行求解.

例5(2007年高考全国I 卷理科) 已知函数f(x) =ex-e-x.

1) 求证： f′(x)≥2;

2) 对于任意x ≥0，都有f(x)≥ax，求a 的范围.

思路探索对于2)问， 经过上面分离参数的方法介绍，是满足第一点的，分离参数a，不影响不等号的判断，但是，分离后会发现，新函数较为复杂且对其求导后，无法表示出极值点或是最值，因此不采用分离参数的方法.

解1)f′(x)=ex+e-x，由于2，故f′(x)≥2(当且仅当x=0 时，等号成立).

2) 令g(x) = f(x)-ax， 即g(x) = ex-e-x-ax， 则g′(x)=ex+e-x-a，由1)问知ex+e-x≥2.

①若a ≤2， 当x ＞0 时， g′(x) = ex+ e-x- a ＞2-a ≥0，故g(x)在(0,+∞)上为增函数，所以，x ≥0 时，g(x)≥g(0)=0，即f(x)≥ax 成立.

②若a ＞2， 当x ＞0 时， 方程g′(x) = 0 的正根为此时，若x ∈(0,x1)时，g(x)＜g(0)=0，即f(x)＜ax，与题设f(x)≥ax 矛盾.

综上，满足条件的a 的取值范围是(-∞,2].

构造差函数的思想也是做这类题的常见思想， 这类思想的本质其实就是根据f(x) ≥0(f(x) ≤0)的形式等价于f(x)min≥0(f(x)max≤0)，之后求导，根据导函数的特点，选取参数适当的范围进行讨论，进而求解本题.这类思想也是较为容易的，不需要对原函数进行复杂转化，然而对于有些问题采取这种方式却是有些复杂，甚至会出现无法进行下一步运算的结果.此时我们可以采取另一种策略.

(三)化简转化，构造部分函数

有些原函数较为复杂，直接采用上述方法，较为繁琐，不易将问题解决，所以我们可以根据题干条件适当简化原函数，进而在采取上述方法来解决，这类思想在运用上灵活性较强，对于学生来说也存在一定难度.

例6(2016年高考全国卷文科) 已知函数f(x) =(x+1)ln x-a(x-1).

1) 当a = 4 时，求曲线y = f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

2) 若当x ∈(1,+∞)时，f(x)＞0，求a 的取值范围.

解1)略.2) 当x ∈(1,+∞)时，f(x) ＞0，即f(x) =(x+1)ln x-a(x-1)= (x+1)所以只需证令g(x) = ln x-则

当a ≤2 时，x2+2(1-a)x+1 ≥x2-2x+1 ＞0，所以g′(x) ＞0，则g(x)在(1,+∞)上单调递增，且g(1) = 0，因此g(x)＞g(1)=0.

当a ＞2 时，令g′(x)=0 得由x2＞1， 且x1x2= 1 得x1＜1，故当x ∈(1,x2)时，g′(x) ＜0，所以g(x)在(1,x2)时单调递减，所以g(x)＜g(1)=0，与已知矛盾，舍去.

综上，实数a 的取值范围为(-∞,2].

这道题，原函数中有对数函数与一次函数的乘积的形式，因此求导后，必然既有对数又有一次函数的形式，很难判断导函数的正负或是极值点， 也就不能判断参数的取值范围，此方法很难进行，根据题目条件适当进行化简，则使得问题简单化，求导后的函数为二次函数的形式，更有助于我们的判断.这种方法是较为难的，且也是高考中容易出现的，考察学生的综合能力.在2010年高考全国卷I 文科试题中有这样一道题： 已知f(x) = x(ex-1)-ax2，1)求f(x)的单调区间;2)x ≥0，f(x)≥0 时，求a 的范围.在这道题中的2)也是同样道理，原函数存在指数函数与一次函数的乘积的形式，求导后，导函数中同样存在指数与一次函数乘积形式，但是若提出x，函数就变为简单形式，且x 的范围是大于等于零的，不影响不等式的判断.这类题较难，需要学生有较强的综合能力，但同时也提升学生面对问题时，能够考察学生灵活运用所学知识的能力，锻炼学生的思维.

三、总结

本篇文章主要探讨函数中不等式恒成立问题中求参数取值范围的内容，面对这类题，一是可以直接进行求导，若导函数是二次函数或是一次函数，则可根据函数性质对参数范围进行判断，若较为复杂可联系题干，找隐含条件并充分利用.二是原函数较为复杂，导函数也复杂，则采用构造函数的思想，一般是分离参数法，构造差函数和构造部分函数的形式.并根据对题干的解读，通过本文章的分析，决定选取哪个方法，从而解决问题.